TD2 Application de la reduction

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Page 1 : 2024/2025Semestre 2 – PréIng 2Algèbre Linéaire & BilinéaireTD2 - Applications de la réductiond’endomorphismeSystèmes Différentiels LinéairesExercice 1Résoudre les systèmes différentiels linéaires :1 x′ =2x + yy′ =y2x′ =2x + y + 3zy′ =y + zz′ =z3 x′ = 4x 2yy′ = x + yExercice 2Résoudre les systèmes différentiels linéaires :1 x′1 = x1 + 3x2 + etx′2 = 2x1 + 4x22 x′ = x + 8y + ety′ = 2x + y + e3tExercice 3Résoudre le système différentiel linéaire :x′ = y + zy′ = xz′ = x + y + zExercice 4Résoudre le système différentiel linéaire :x′ = 2x y + 2zy′ = 10x 5y + 7zz′ = 4x 2y + 2zExercice 5Résoudre les systèmes d’équations différentielles linéaires :1x′ = 3x + y zy′ = x + y + zz′ = 2x + 2z2x′ = 2y 2zy′ = 2x + zz′ = 2x y1

Page 2 : Exercice 6Résoudre les systèmes d’équations différentielles linéaires :1x′ = x + 2y + cos t sin ty′ = x y + sin t2 Pour x0, y0, z0 R3, déterminer les solutions réelles de :x′ = x + yy′ = y + zz′ = x zExercice 7Résoudre le système différentiel linéaire :y′1 = 6y1 + 5y2 + 3y3 + 1xy′2 = 8y1 + 7y2 + 4y3y′3 = 2y1 + y2 + 2xExercices SupplémentairesExercice 8 Exponentielle de matricesOn rappelle que pour toute matrice A MnR l’exponentielle est définie par eA =+Xk=0Akk! .Calculer eA pour les matrices suivantes :1 A =2211311222 A =211021323Exercice 9Soit J =λ100λ100λoù λ R fixée.1 Déterminer Jk pour tout k N.2 Calculer eJ. En déduire etJ pour tout t R.3 Donner la solution du système différentiel linéaire à coefficients constants :X′t = JXtX0 = c1 c2 c3T2

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