TD2 Convergence
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Page 1 : CyTech Dpt Math Ing1 K. El Amine1Fiche d’exercicesSuites de Variables Aléatoires RéellesConvergenceLGN and CLTNote. Toutes las v.a.rs sont définies sur un espace probabilisé Ω, A, P.Convergence des suites de v.a.rsExercice 1 - Soit XnnNune suite de v.a.rs absolument continues ayant pour fonctions de répar-titionFXnx =x1 + xnI0,+xTrouver la limite en loi si elle existe de la suite XnnN.Exercice 2 - Soit XnnNune suite de v.a.rs absolument continues ayant pour fonctions de répar-titionFXnx =0si x 01 1 xnsi 0 x 11si 1 xTrouver la limite en loi si elle existe de la suite XnnN.Exercice 3 - Soit XnnNune suite de v.a.rs absolument continues ayant pour fonctions de répar-titionFXnx =0si x 0nxsi 0 x 1/n1si 1/n xTrouver la limite en loi si elle existe de la suite XnnN.Exercice 4 - Soit X une v.a.r. absolument continue, uniformément distribuée sur 0, 1. Soit XnnNune suite de v.a.rs absolument continues, uniformément distribuées sur 0, 1 + 1/n.Montrer que XnL→X.Exercice 5 - Soit X une v.a.r. absolument continue, uniformément distribuée sur 0, 2. Soit XnnNune suite de v.a.rs absolument continues, uniformément distribuées sur 1/n, 2.Montrer que XnL→X.Exercice 6 - Soit XnnNune suite de v.a.rs absolument continues, indépendantes, chacune uni-formément distribuée sur 0, 1. Pour tout n 0, on poseYn = minX1, . . . , Xn1 Montrer que la suite de v.a.rs YnnNconverge en moyenne quadratique vers 0.2 Montrer que la suite de v.a.rs YnnNconverge en probabilité, en utilisant deux méthodes.
Page 2 : 2Exercice 7 - Soit ann1 une suite de réels positifs tels que+Xn=1an = 2.Soit Xnn1 une suite de v.a.rs, indépendantes, de lois respectivement exponentielles Ean.On pose pour tout n 1Yn = minX1, . . . , XnMontrer que la suite de v.a.rs Ynn1 converge en loi vers une v.a.r. Y de loi E2.Exercice 8 - Soit XnnNune suite de v.a.rs discrètes telle que pour tout n N:XnΩ = 0, n2et f.m.p.pXnx =1 1nsi x = 01nsi x = n20sinon1 Montrer que la suite XnnNconverge en probabilité vers 0.2 Montrer que la suite XnnNne converge pas en moyenne dans L1 vers 0.XnnNconverge-elle dans L2 vers 0 ?Exercice 9 - Soit a R et XnnNune suite de variables aléatoires réelles telle que :n N,EXn2 +;limn→+EXn = a ;limn→+V Xn = 01 Montrer que la suite XnnNconverge en moyenne quadratique dans L2 vers a.2 Montrer que la suite XnnNconverge en probabilité vers a.Exercice 10 - Soit Xnn1 une suite de v.a.rs discrètes telle que pour tout n 1XnΩ = 1, 0, 1et f.m.p.pXnx =12nsi x = 11 1nsi x = 012nsi x = 10sinonPour chaque cas, utiliser la définition.1 Montrer que Xnn1 converge en loi vers 0.2 Montrer que Xnn1 converge en probabilité vers 0.3 Montrer que, pour tout r 1, Xnn1 converge en moyenne d’ordre r vers 0.Exercice 11 - On travaille dans l’espace probabilisé Ω, BΩ, P où Ω= 0, 1, BΩ est la tribuborélienne et P est la probabilité uniforme sur le segment 0, 1, i.e :PD =ZDdx,D BΩP mesure la longueur du domaine DPour tout n 1, on définit :Xn : 0, 1→Rω7→Xnω = minnω, 1Montrer que la suite de v.a.r. Xnn1 converge presque sûrement vers la variable certaine X = 1.
Page 3 : CyTech Dpt Math Ing1 K. El Amine3Exercice 12 - Combien de fois faut-il lancer une pièce équilibrée pour obtenir strictement plus de100 faces avec une probabilité de 90 ?Exercice 13 - Lancez une pièce équilibrée deux fois. Vous gagnez 1 si au moins un des deux lancerssort face, sinon, vous gagnez 0.1 Supposons que vous jouiez à ce jeu 300 fois. Quelle est, approximativement, la probabilité quevous gagniez au moins 250 ?2 Combien de fois avez-vous besoin de jouer pour gagner au moins 250 avec une probabilité d’aumoins 0.99 ?Exercice 14 - Lancez un dé équilibré n fois.Soit X le nombre de fois que vous obtenez un 6.Supposons que n est grand.1 Calculez l’espérance EX et la variance V X.2 On suppose que n est assez grand pour appliquer le CLT. Trouver une approximation, en termesde n et Φ, de la probabilité suivanteP X EX 0.1 EX3 Quelle grandeur n devrait-il avoir pour que la probabilité en 2 soit supérieure à 0.99 ?Exercice 15 - Soit X une v.a.r.. Supposons que X suit une loi binomiale de paramètres n = 150 etα = 0.4 i.e. X B150, 0.4.1 Calculez l’espérance EX et la variance V X.2 Utiliser le Central Limit Theorem avec la correction de continuité, afin de trouver une approxi-mation pour PX = 60.Exercice 16 - Supposons qu’un échantillon aléatoire de n = 1600 pneus du même type soit obtenu àpartir d’un processus de production en cours dans lequel 8 de tous ces pneus produits sont défectueux.En utilisant le Central Limit Theorem avec la correction de continuité, quelle est la probabilité que,dans un tel échantillon, pas plus de 150 inclus des pneus soient défectueux ?Exercice 17 - D’après l’expérience passée, 7 de tous les Ticket-Resto sont en erreur. Nous sélection-nons un échantillon aléatoire de 400 Tickets. En utilisant le Central Limit Theorem avec la correctionde continuité, quelle est la probabilité approximative que :1 exactement 25 sont en erreur ?2 moins de 25 exclusif sont en erreur ?3 entre 20 et 25 les deux inclus sont une erreur ?Exercice 18 - Loi de PoissonLe nombre moyen d’accidents de vols commerciaux, par an, dans le monde est de 25. En supposantque le nombre d’accidents par an suit une loi de Poisson :1 Calculer la probabilité qu’il y ait sur une année : 20 accidents ; 25 accidents.2 En utilisant une approximation, calculer la probabilité qu’il y en ait sur une année : strictementmoins que 25 accidents ; au moins 28 accidents.
