TD2 Ensembles Correction

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Page 1 : Algebre 1 - Premier semestre 2024 - 2025CY TechTD AlgebreEnsemble.Algebre

Page 2 : Exercice 1Soient A et B deux parties de E.1. Montrer que Acc = A2. Soit A B. Montrer que Bc Ac.3. Montrer les Lois de Morgan :A Bc = Ac BcetA Bc = Ac Bc.Algebre

Page 3 : Exercice 11. MontronsAcc = A.Solution : Par definitionx Ac ⇐⇒x /A.Il en resulte donc par negationx /Ac ⇐⇒x A.Ce qui est equivalente ax Acc ⇐⇒x A.D’ou on conclut Acc = A.Algebre

Page 4 : Exercice 12. Soit A B. Montrer queBc Ac.Solution :Supposons que A B et montrons Bc Ac. Par hypothesex A =⇒x B.Cette proposition est equivalente a sa contraposee :x /B =⇒x /A.Ce qui est equivalente ax Bc =⇒x Ac.On a ainsi montre que si A B, alors Bc Ac.Algebre

Page 5 : Exercice 13. Montrons les Lois de Morgan :A Bc = Ac BcetA Bc = Ac Bc.Solution :Comme¸cons par montrer A Bc = Ac Bc. Par definitionx A B ⇐⇒x A et x B.Il en resulte par negationx A Bc ⇐⇒x /A B⇐⇒x /A ou x /B⇐⇒x Ac ou x Bc,ce qui s’ecritx A Bc ⇐⇒x Ac Bc.Nous avons donc montreA Bc = Ac Bc.Algebre

Page 6 : Exercice 1Pour la deuxieme egalite, on poseC = AcetD = Bc.D’apres la premiere egalite, nous avonsC Dc = C c Dc,et en prenant le complementaire, on obtient.C D = C Dcc = C c Dcc .Ainsi, en rempla¸cant C par Ac et D par Bc, on conclutAc Bc = Acc Bccc= A Bc.Nous avons donc montreA Bc = Ac Bc.Algebre

Page 7 : Exercice 2Soit A, B, C, D des parties d’un ensemble E. Montrer que :1A \ B \ C = A \ B C.2A \ B C \ D = A C \ B D.3A \ B C = A \ B A \ C.4A \ B C = A \ B A \ C.Rappelons queA \ B = x E : x Aetx ̸B = A Bc.Solution : On aA \ B \ C=A \ B C c=A Bc C c=A Bc C c=zpar la loi de MorganA B Cc=A \ B C.Algebre

Page 8 : Exercice 2Montrons l’egaliteA \ B C \ D = A C \ B DSolution : On aA \ B C \ D=A Bc C Dc=A C Bc Dc=zpar la loi de MorganA C B Dc=A C \ B D.Algebre

Page 9 : Exercice 2Montrons l’egaliteA \ B C = A \ B A \ C.Solution : On aA \ B C=A B Cc=zpar la loi de MorganA Bc C c=A Bc A C c=A \ B A \ CAlgebre

Page 10 : Exercice 2Montrons l’egaliteA \ B C = A \ B A \ CSolution : On aA \ B C=A B Cc=zpar la loi de MorganA Bc C c=A A Bc C c=A Bc A C c=A \ B A \ CAlgebre

Page 11 : Exercice 3Soit A et B deux parties d’un ensemble E.Montrer :A B ⇐⇒A B = BetA B ⇐⇒Ac B = EEn deduire :A B ⇐⇒A B = AetA B ⇐⇒A Bc = Algebre

Page 12 : Exercice 3MontronsA B ⇐⇒A B = BSolution : On raisonne par double implication.=⇒: Supposons A B et montrons la propositionA B = B.On raisonne par double inclusion :Clairement, B A B.Montrons que A B B. Par definitionx A B⇐⇒x A Boux B=⇒x B.Donc A B B.⇐=: Supposons A B = B et montrons la propositionA B.On aA A B = B=⇒A B.Algebre

Page 13 : Exercice 3MontronsA B ⇐⇒Ac B = ESolution : On raisonne par double implication.=⇒: Supposons A B et montrons la propositionAc B = E.On raisonne par double inclusion :Clairement, Ac B E.Montrons que E Ac B. Comme A B, on peut ecrireE = A Ac B Ac = Ac B.⇐=: Supposons Ac B = E et montrons la propositionA B.On a A E = Ac B. Doncx A Ac B⇐⇒x Acoux B.Mais comme x A, on conclut x /Ac et donc x B. Par consequentA B.Algebre

Page 14 : Exercice 3En deduireA B ⇐⇒A B = AOn aA = A B⇐⇒zd’apres les lois de MorganAc = Ac Bc⇐⇒zd’apres la question precedenteBc Ac⇐⇒zpar contrapositionA B.En deduireA B ⇐⇒A Bc = On aA Bc = ⇐⇒zd’apres les lois de MorganAc B = c = E⇐⇒zd’apres la question precedenteA B.Algebre

Page 15 : Exercice 4Soient A, B, C trois ensembles. Montrer que1. A B C = A B A C.2. A B = A C ⇐⇒B A C.3. A B B C C A = A B B C C A.Algebre

Page 16 : Exercice 4Montrer queA B C = A B A C.Preuve : On ax A B C⇐⇒x A ou x B C⇐⇒x A ou x B et x C⇐⇒zpar distributivite deou par rapport a etx A ou x B et x A ou x C⇐⇒x A B et x A C⇐⇒x A B A C.Par consequentA B C = A B A C.Algebre

Page 17 : Exercice 4Montrer queA B = A C ⇐⇒B A C.Preuve : On raisonne par double implication.=⇒: Supposons que A B = A C. Montrons la suite de contentionsB A C.Supposons x B. On ax B =⇒x A B = A C =⇒x A.D’ou on conclut que B A. Maintenat, soit x A. Alorsx A =⇒x A B = A C =⇒x C.D’ou on conclut que A C. Par consequent B A C.⇐=: Supposons que B A C. Montrons l’egaliteA B = A C.On aB A =⇒A B = AetA C =⇒A C = A.D’ou on conclut que A B = A = A C.Algebre

Page 18 : Exercice 4Montrer queA B B C C A = A B B C C A.Preuve : On aA B B C C A=B A B C C A=zpar distributivite depar rapport a B A C C A=zpar distributivite depar rapport a B C A A C C A=zpar distributivite depar rapport a B C B A A C C A.Mais A C C A, donc A C C A = A C. D’ouA B B C C A = B C B A A C C A= B C B A A C= A B B C C A.Algebre

Page 19 : Exercice 5Soit E et F deux ensembles. Quelle relation y a-t-il entre :1PE F et PE PF ?2PE F et PE PF ?3PE × F et PE × PF ?Algebre

Page 20 : Exercice 5Quelle relation y a-t-il entre :PE FetPE PF?Solution : Montrons quePE PF PE F.On aA PE PF=⇒A PEouA PF=⇒A EouA F=⇒A E F=⇒A PE F.D’ou on conclut que PE PF PE F. Ce n’est une egaliteque si E F ou F E. En effet, si E = a, b et F = c, d alorsE F = a, b, c, d /PE PF.Algebre

Page 21 : Exercice 5Quelle relation y a-t-il entre :PE FetPE PF?Solution : Montrons quePE F = PE PF.On aA PE PF⇐⇒A PEetA PF⇐⇒A EetA F⇐⇒A E F⇐⇒A PE F.D’ou on conclut que PE PF = PE F.Algebre

Page 22 : Exercice 5Quelle relation y a-t-il entre :PE × FetPE × PF?Solution : Notons que :un element de PE × PF est un coupleA, BouA E et B F.un element de PE × F est un sous-ensemble de E × F :C PE × F⇐⇒C E × F⇐⇒C =nx, y : x E et y Fo.Ceci implique que ces deux ensembles ne sont pas comparables car necontiennent pas les mˆemes objets. Il n’y a donc pas d’inclusion entrePE × F et PE × PF.Algebre

Page 23 : Exercice 6SoitA = a1, a2, a3, a4etB = b1, b2, b3, b4, b5.1Ecrire le produit cartesien A × B.2Quel est le nombre de parties de A × B ?Solution :1On aA × B =na1, b1, a1, b2, a1, b3, a1, b4, a1, b5a2, b1, a2, b2, a2, b3, a2, b4, a2, b5a3, b1, a3, b2, a3, b3, a3, b4, a3, b5a4, b1, a4, b2, a4, b3, a4, b4, a4, b5o2Pour trouver le nombre de parties de A × B, on utilise le resultat suivantPropositionSoit E un ensemble a n elements. Alors, l’ensemble PE des parties de E estfini, et a 2n elements.Algebre

Page 24 : Exercice 6Maintenant A × B est un ensemble a 20 elements, il y a donc220parties.Algebre

Page 25 : Exercice 7Soit E et F deux ensembles. Tous les sous-ensembles de E × F sont-ilsde la formeA × BavecA EetB F?Solution : Non. Par exemple, soit E = F = R et considerons le cercleuniteC = x, y R2 : x2 + y 2 = 1 E × F = R2.Montrons que C ne s’ecrit pas sous la forme A × B pour A R etB R. On raisonne par l’absurde. Supposons donc C = A × B etessayons de trouver une contradiction. Si C = A × B alors0 A, car 0, 1 C .0 B, car 1, 0 C .Donc0, 0 A × B.Mais 0, 0 /C . Contradiction ! Par consequent C ne s’ecrit pas sous laforme A × B pour A R et B R.Algebre

Page 26 : Exercice 7On peut aussi choisirC = 1, 0, 0, 1 .Si C = A × B, alors0, 1 Aet0, 1 B,pourtant0, 0 /C .Algebre

Page 27 : Exercice 8Soient A, B, C, D quatre ensembles.1Montrer que A × C B × C = A B × C.2Montrer que A × C B × D = A B × C D.Solution : Montrons queA × C B × C = A B × C.On ax, y A × C B × C ⇐⇒x, y A × Coux, y B × C⇐⇒x A et y C ou x B et y C⇐⇒x A ou x Bety C⇐⇒x A Bety C⇐⇒x, y A B × C.Par consequent A × C B × C = A B × C.Algebre

Page 28 : Exercice 8Montrons queA × B C × D = A C × B D.Solution : On ax, y A × B C × D ⇐⇒x, y A × Betx, y C × D⇐⇒x A et y B et x C et y D⇐⇒x A et x C et y B et y D⇐⇒x A C et y B D⇐⇒x, y A C × B D.Algebre

Page 29 : Exercice 9Soit la difference symetrique dans PE.1. Montrer que AB = A Bc Ac B = A B Ac Bc2. Montrer que AB = BA.3. Montrer que A BC = A BA C.4. Que valent A, AA, et AB quand A B ?Solution : Commen¸cons par rappeller la definition de la differencesymetrique. Soient A et B deux ensembles. AlorsAB = A B \ A BAinsiAB = A B A Bc=A B Ac Bc=A Bc B A=A \ B B \ A.Montrons l’egalite AB = BA. On aAB = A \ B B \ A= B \ A A \ B = BA.Algebre

Page 30 : Exercice 9Montrons l’egaliteA BC = A BA C.On computeA BC=A B \ C C \ B=A B C c C Bc=A B C c A C Bc = A B C c A Bc C.En mˆeme tempsA BA C=A B \ A CA C \ A B=A B A CcA C A Bc=A B Ac C cA C Ac Bc=A B Ac A B C c A C Ac A C Bc=A B C c A Bc C=A B C c A Bc C.D’ou on conclutA BC = A BA C.Algebre

Page 31 : Exercice 9Que valentAetAAetAB quand A B?Solution :On aA= A \ A = A \ = A.On aAA = A A \ A A = A \ A = .Si A B, alorsAB = A B \ A B = B \ A.Algebre

Page 32 : A faire chez soi - Exercice 10Soient A, B, C trois ensembles. Montrer que1. A B A CA B A C=⇒B C.2. On suppose que A B = A C et A B = A C. Que peut-on direde B et C ?Algebre

Page 33 : A faire chez soi - Exercice 10Montrer que A B A CA B A C=⇒B C.Preuve : Montrons que B C. Soit x B. Alorsx B =⇒x A B =⇒x A C =⇒x A ou x C.On a donc deux posibilites a etudier :si x C. Rien d’autre a prouver.si x A. Alorsx A =⇒x A B =⇒x A C =⇒x C.Ainsi B C.Algebre

Page 34 : A faire chez soi - Exercice 10On suppose que A B = A C et A B = A C. Que peut-on dire de B et C ?Solution : Montrons queB = C.On raisonne par double inclusion.: Soit x B, alorsx A Bet donc x A ou x B.Si x A, alorsx A B = A C Cet x C.Si x /A, comme x A B = A C, on a necessairement x C.Donc B C.: En echangeant le role de B et C dans la preuve precedente, on peutconclure C B, et donc B = C.Algebre

Page 35 : A faire chez soi - Exercice 11Soit A, B, C trois parties d’un ensemble E.1Montrer queA B = A B⇐⇒A = B.2Montrer queA B = A C⇐⇒A Bc = A C c.3Montrer queA B \ A C A B \ C.Donner un contre-exemple pour l’inclusion contraire.Algebre

Page 36 : A faire chez soi - Exercice 11MontronsA B = A B⇐⇒A = B.Solution : On raisonne par double implication.=⇒: Supposons A B = A B et montrons l’egalieA = B.On raisonne par double inclusion :Montrons que A B. Soit x A, alorsx A =⇒x A B =A B =⇒x B.Donc A B.Montrons que B A. Soit x B, alorsx B =⇒x A B =A B =⇒x A.Donc B A.⇐=: Supposons A = B et montrons l’egaliteA B = A B.On aA B = A A = A = A A = A B.Algebre

Page 37 : A faire chez soi - Exercice 11MontronsA B = A C⇐⇒A Bc = A C c.Solution : On raisonne par double implication.=⇒: Supposons A B = A C et montrons l’egaliteA Bc = A C c.On raisonne par double inclusion :Montrons que A Bc A C c. Soit x A Bc. Comme x A, ilsuffit de montrer que x C c. On raissone par le absurde. Supposonsdonc x C, alors x A C = A B donc x B, ce qui est absurde.Par consequent x C c, d’ou on conclut l’inclusion A Bc A C c.En echangeant le role de C et de B dans la preuve precedente onobtient A C c A Bc.⇐=: Supposons A Bc = A C c et montrons l’egalieA B = A C.D’apres la implication reciproque, on aA Bc = A C c=⇒A Bcc = A C cc⇐⇒A B = A C.Algebre

Page 38 : A faire chez soi - Exercice 11Montrer queA B \ A C A B \ C.Donner un contre-exemple pour l’inclusion contraire.Solution : Soit x A B \ A C. Alorsx A Betx /A C.En particulier x /A, d’ou x B. Mais comme x /C, on deduitx B \ C.Comme ce dernier ensemble est une sous-ensemble de A B \ C, on conclutx A B \ C et doncA B \ A C A B \ C.Finalement, en prenant A = B = C non vide, nous avonsA B \ A C = A \ A = etA B \ C = A = A.Donc A B \ C = A ̸= A B \ A C.Algebre

Page 39 : A faire chez soi - Exercice 12Simplifier les expressions suivantes ou A, B et C sont des parties d’un ensembleE :A Ac BA Ac BA Ac B Ac Bc CA Ac B Ac Bc CSolution : On aA Ac B = A Ac A B = A B = A BOn aA Ac B = A Ac A B = E A B = A B.On aA Ac B Ac Bc C =A Ac A BAc Bc C= A B Ac Bc C= A B Ac A B Bc A B C= A B C.Algebre

Page 40 : A faire chez soi - Exercice 12On aA Ac B Ac Bc C =A Ac A BAc Bc C= E A B Ac Bc C= A B Ac Bc C= A B Ac A B Bc A B C= E E A B C= A B C.Algebre

Page 41 : Pour aller plus loin - Exercice 13Soit AiiI et BiiI deux familles de parties d’un ensemble E. On supposeque pour tout indice i de I, on aE = Ai Bi.Montrer que E =SiI Ai S TiI Bi.Solution : NotonsF = iIAi! \iIBi!.Nous devons montrer l’egaliteE = F.On raisonne par double inclusion.F E : Rien a demontrer, par definition AiiI et BiiI sont deuxfamilles de parties de E.E F : Soit x E =TiI BiTiI Bic. Si x iIBi alors x F.Si x /iIBi, alors il existe i I tel que x /Bi, or E = Bi Ai. Ainsix Ai et on conclut que x Si Ai. Doncx F.Par consequent, E F et E = F.Algebre

Page 42 : Pour aller plus loin - Exercice 14Soient A, B et C trois sous-ensembles d’un ensemble E. Montrer queABC = ABCSolution : On commence par noter queABC = AB C ABc C c=hA B Ac Bc CihAc B A Bc C ci= A B C Ac Bc C Ac B C c A Bc C cD’ou on conclutABC = A B C Ac Bc C Ac B C c A Bc C c= B C A Bc C c A B C c Ac Bc C Ac=hB C Bc C c AihBc C B C c Aci= BC A BCc Ac= BCA= ABC.Algebre

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