TD2 Ensembles
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Page 1 : Cycle pré-ingénieur - Première AnnèeAlgèbre 1 - 2023/2024EnsemblesExercice 1. Soient A et B deux parties de E.1. Montrer que Acc = A2. Soit A B. Montrer que Bc Ac.3. Montrer les « Lois de Morgan » :A Bc = Ac BcetA Bc = Ac Bc.Exercice 2. Soit A, B, C, D des parties d’un ensemble E.Montrer que :1. A \ B \ C = A \ B C.2. A \ B C \ D = A C \ B D.3. A \ B C = A \ B A \ C.4. A \ B C = A \ B A \ C.Exercice 3. Soit A et B deux parties d’un ensemble E.1. Montrer :a A B ⇐⇒A B = Bb A B ⇐⇒Ac B = E2. En déduire :a A B ⇐⇒A B = Ab A B ⇐⇒A Bc = Exercice 4. Soient A, B, C trois ensembles. Montrer que1. A B C = A B A C.2. A B C = A B A C.3. A B = A C ⇐⇒B A C.4. A B B C C A = A B B C C A.Exercice 5. Soit E et F deux ensembles. Quelle relation y a-t-il entre :1. PE F et PE PF ?2. PE F et PE PF ?3. PE × F et PE × PF ?Exercice 6. Soit A = a1, a2, a3, a4etB = b1, b2, b3, b4, b5.1. Écrire le produit cartésien A × B.2. Quel est le nombre de parties de A × B ?Exercice 7. Soit E et F deux ensembles. Tous les sous-ensembles de E × F sont-ils de la forme A × B avecA E et B F ?Exercice 8. Soient A, B, C, D quatre ensembles.1. Montrer que A × C B × C = A B × C.2. Montrer que A × C B × D = A B × C D.1
Page 2 : Exercice 9. Soient deux sous-ensembles A et B d’un ensemble E. Soit la différence symétrique dans PEdéfinie par AB = A B \ A B1. Montrer que AB = A Bc Ac B = A B Ac Bc2. Montrer que AB = BA.3. Montrer que A BC = A BA C.4. Que valent Aet AA et AB quand A B ?A faire chez soiExercice 10.1. Montrer queA B A CA B A C=⇒B C.2. On suppose que A B = A C et A B = A C. Que peut-on dire de B et C ?Exercice 11. Soit A, B, C trois parties d’un ensemble E.1. Montrer que A B = A B⇐⇒A = B.2. Montrer que A B = A C⇐⇒A Bc = A Cc.3. Montrer que A B \ A C B \ C. Donner un contre-exemple pour l’inclusion contraire.Exercice 12. Simplifier les expressions suivantes où A, B et C sont des parties d’un ensemble E :1. A Ac B2. A Ac B3. A Ac B Ac Bc C4. A Ac B Ac Bc CPour aller plus loinExercice 13. Soit AiiI et BiiI deux familles de parties d’un ensemble E. On suppose que pour toutindice i de I, on a E = Ai Bi. Montrer queE = iIAi! \iIBi!.Exercice 14. SoientA, B et C trois sous-ensembles d’un ensemble E. Montrer queABC = ABC.2
