TD2 Espaces Vectoriels
Télécharger le TD2 Espaces Vectoriels en pdf
Page 1 : Algèbre 2Préing 12024 – 2025TD2 – Espaces vectoriels1Sous-espaces vectorielsExercice 1. Tracer les sous-ensembles de R2 suivants, puis déterminer ceux qui sont stables par addition,ceux qui sont stables par multiplication par un scalaire, et ceux qui sont des sous-espaces vectoriels de R2.1. A :=©x, y R2 ¯¯x +2y = 0ª.2. B :=©x, y R2 ¯¯x +2y = 1ª.3. C := Z24. D :=©x, y R2 ¯¯x = yª.5. E :=©x, y R2 ¯¯ y = x2ª.6. F :=©x, y R2 ¯¯x2 + y2 = 0ª.7. G :=©x, y R2 ¯¯x2 + y2 = 1ª.8. H :=©x, y R2 ¯¯x 0 et y 0ª.Exercice 2. Parmi les ensembles suivants, déterminer lesquels sont des sous-espaces vectoriels de R3.1. A :=©x, y,z R3 ¯¯x +4y z = 0ª.2. B :=©x, y,z R3 ¯¯x +4y z = 3ª.3. C :=©x, y,z R3 ¯¯2z = 3yª.4. D :=©2λ, λ, λ : λ Rª.5. E :=©x, y,z R3 ¯¯x +4z = 0 et x + y + z = 0ª.6. F :=©x, y,z R3 ¯¯x +4z = 0 ou x + y + z = 0ª.Exercice 3. Soit E un K–espace vectoriel et soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E.1. Montrer que F G est un sous-espace vectoriel de E.2. L’ensemble F c est-il un sous-espace vectoriel de E ?3. Montrer que F G est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si F G ou G F.Exercice 4. Parmi les ensembles suivants, déterminer lesquels sont des sous-espaces vectoriels de RX .1. A :=©P RX ¯¯P′X = 2ª.2. B :=©P RX ¯¯PX = X P′X +P0ª.3. C :=©P RX ¯¯ X 2 +1 divise Pª.4. D :=©P RX ¯¯degP = nªoù n N.5. E :=©P RX ¯¯degP nªoù n N.6. F :=©P RX P ◦Q = Q ◦Pªoù QX := X 2.Exercice 5. Parmi les ensembles suivants, établir lesquels sont des sous-espaces vectoriels de l’espace desapplications de R dans R.1. A :=©f FR,R¯¯ f 1 = 0ª.2. B :=©f FR,R¯¯ f 0 = 1ª.3. C :=©f FR,R¯¯ f 0f 1 = 0ª.4. D :=©f FR,R¯¯ f est bijectiveª.5. E :=½f C 0R,R¯¯¯¯Z 10f xdx = 0¾.6. F :=©f C 1R,R¯¯ f ′ +2f = 0ª.Exercice 6. Dans l’espace vectoriel des suites réelles, déterminer si les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels.1. A :=©unnN RN ¯¯unnN convergeª.2. B :=©unnN RN ¯¯unnN divergeª.3. C :=©unnN RN ¯¯unnN est croissanteª.4. D :=©unnN RN ¯¯unnN est arithmétiqueª.5. E :=©unnN RN ¯¯unnN est géométriqueª.6. F :=©unnN RN ¯¯unnN est stationnaireª.Rappel : une suite unnN est stationnaire si c R, n0 N, n n0, un = c.1
Page 2 : 2Familles libres/liéesExercice 7. On se place dans l’espace vectoriel R3.1. Écrire si possible le vecteur v comme combinaison linéaire des vecteurs u1,u2,u3 :a. v := 1,2,5, u1 := 1,1,1, u2 := 2,1,1 et u3 := 1,2,3.b. v := 2,5,3, u1 := 1,3,2, u2 := 2,4,1 et u3 := 1,5,7.2. Pour quelles valeurs de k le vecteur u := 1,2,k est-il combinaison linéaire de v := 3,0,2 etw := 2,1,5?Exercice 8. Dans R4, soient les vecteurs u := 1,1,1,0 et v := 0,0,1,1.1. Montrer que u et v sont linéairement indépendants.2. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les réels x, y,z,t pour que x, y,z,t Vectu,v.3. En déduire des équations cartésiennes du plan engendré par u et v.Exercice 9. Les vecteurs de R4 suivants sont-ils linéairement indépendants? Donner les relations de dé-pendance linéaire le cas échéant.1. e1 := 3,0,1,2, e2 := 1,5,0,1, e3 := 7,5,2,1.2. e1 := 1,1,1,1, e2 := 1,1,1,1, e3 := 1,1,1,1, e4 := 1,1,1,1.3. e1 := 0,0,1,0, e2 := 0,0,0,1, e3 := 1,0,0,0, e4 := 0,1,0,0.4. e1 := 2,1,3,1, e2 := 1,1,1,1, e3 := 4,1,5,3, e4 := 1,2,2,0.5. e1 := 1,2,3,4, e2 := 1,1,1,3, e3 := 2,1,1,1, e4 := 1,0,1,2, e5 := 2,3,0,1.Exercice 10. Soit u1,u2,u3 une famille libre d’un espace vectoriel E. Soient v1, v2 et v3 les vecteurs :v1 := 2u1 +u2 +3u3,v2 := u1 u2 u3,v3 := u1 +2u2 +u3.Montrer que la famille v1,v2,v3 est libre.Exercice 11. Soient P1,...,Pn KX des polynômes dont les degrés sont deux à deux distincts c.-à-d.i, j 1,...,n, i ̸= j =⇒degPi ̸= degP j. Montrer que la famille P1,...,Pn est libre.3Bases et dimensionExercice 12. Pour chaque famille de vecteurs, déterminer s’il s’agit d’une base de R3.1. A :=¡1,3,1,1,3,0¢2. B :=¡1,1,0,0,1,1,1,1,1,0,0,1¢3. C :=¡1,0,1,0,1,1,2,1,3¢4. D :=¡1,0,0,1,1,0,1,1,1¢Exercice 13. Sachant que dans chaque cas, la famille A est génératrice de R4 et la famille B est libre, com-pléter la famille B avec des vecteurs de la famille A pour former une base de R4.1. A :=¡1,1,0,0,0,1,1,0,0,0,0,1,0,1,0,1¢et B :=¡1,0,2,3,0,1,2,3¢.2. A :=¡1,0,0,0,0,0,1,0,5,1,11,0,4,0,6,1¢et B :=¡1,0,1,0,0,2,0,3¢.Exercice 14. En utilisant des opérations élémentaires sur les vecteurs, donner une base et la dimension deVectA, VectB et VectC.1. A :=©1,0,1,1,3,2,3,5,2,1,2,2,5,2,5,3ª.2. B :=©1,0,1,2,1,0,1,2,1,3,2,1,0,5,1,1,1,3,1,4ª.3. C :=©1,2,0,1,0,2,4,1,4,3,1,2,2,5,2,1,2,3,5,4ª.Exercice 15. Soient les sous-espaces vectoriels de R4 :E :=©x, y,z,t R4 ¯¯ y + z + t = 0ª,F :=©x, y,z,t R4 ¯¯x + y = 0 et z = 0ª.Déterminer des bases de E, F et E F.2
Page 3 : Exercice 16. Dans R4, soit F := Vectu,v,w où u := 1,1,1,1, v := 0,2,1,2 et w := 2,3,1,1, et soitH le sous-espace vectoriel :H :=©x, y,z,t R4 ¯¯2x y +4z +3t = 0ª.1. Montrer que u, v et w sont linéairement indépendants.2. Montrer que H est un hyperplan de R4.3. Montrer que F = H.Exercice 17. Soient les polynômes P1X := 1X , P2X := 1X 2, P3X := X 3 X 2 + X , P4X := X 3 + X +1et P5X := X 3.1. Sans calcul, dire si la famille P1,P2,P3,P4,P5 est libre ou liée.2. Montrer que P1,P2,P3,P4 est une base de R3X .3. Déterminer les coordonnées de P5 dans cette base.Exercice 18. Soit n N et soit α K. Montrer que la famille¡1, X α,X α2,...,X αn¢est une base deKnX , et déterminer les coordonnées de tout polynôme P KnX dans cette base.Exercice 19. Soit E := RN l’espace vectoriel des suites réelles et soit F l’ensemble :F :=©unnN E n N, un+2 = un+1 +6unª.1. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E.2. Soient an := 2n et bn := 3n. Montrer que annN et bnnN sont des vecteurs de F.3. Montrer que annN et bnnN forment une famille libre.4. L’objectif de cette question est de montrer que les suites annN et bnnN forment une famille gé-nératrice de F. Fixons une suite unnN F. Pour λ,µ R, on considère la suite vnnN définie pourtout n N par :vn := λan +µbn.a. Expliquer pourquoi vnnN F.b. Montrer qu’il existe des valeurs de λ et µ pour lesquelles v0 = u0 et v1 = u1.c. Pour ces valeurs de λ et µ, démontrer par récurrence double que : n N, vn = un.d. En déduire que annN et bnnN forment une famille génératrice de F.5. Quelle est la dimension de F ?6. Déterminer une suite unnN F telle que u0 = 0 et u1 = 3. Cette suite est-elle unique?4Sommes de sous-espacesExercice 20. Dans R3, on considère F :=©x, y,z R3 ¯¯2x y + z = 0ªet G := Vectv où v := 1,1,0.1. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de R3 et déterminer une base de F.2. Montrer que F G = R3.Exercice 21. Dans R4, on considère les sous-espaces vectoriels :F :=©x, y,z,t R4 ¯¯x + y = 0 et z + t = 0ª,G :=©x, y,z,t R4 ¯¯x y = 0 et z t = 0ª.1. Déterminer les dimensions de F et de G.2. Déterminer F G.3. En déduire que F +G = R4.Exercice 22. Dans R3, soient F le plan d’équation x + y + z = 0 et G le plan d’équation x +2y +3z = 0.1. Montrer que F +G = R3.2. Sans déterminer F G, justifier si F et G sont supplémentaires dans R3.3
Page 4 : Exercice 23. Dans R4, soit F le plan vectoriel dirigé par u1 := 2,3,0,1 et u2 := 1,2,1,2 et soit G le planvectoriel dirigé par v1 := 4,1,2,5 et v2 := 1,0,0,0.1. Déterminer une base de F +G.2. La somme est-elle directe?Exercice 24. Soit E := C 00,1,R l’espace vectoriel des fonctions continues sur 0,1. Soit F le sous-espacevectoriel :F :=½f E¯¯¯¯Z 10f xdx = 0¾,et soit G le sous-espace vectoriel des fonctions constantes.1. Vérifier que F et G sont bien des sous-espaces vectoriels de E.2. Montrer que F et G sont supplémentaires dans E.Exercice 25. Soit E un espace vectoriel de dimension finie et soient F, G et H des sous-espaces vectorielsde E.1. Montrer que F G+F H F G + H.2. A-t-on l’inclusion contraire en général?3. Montrer que :dimF +G + H dimF+dimG+dimHdimF GdimF HdimG H+dimF G H.4
