TD2 Integrales Multiples
Télécharger le TD2 Integrales Multiples en pdf
Page 1 : Departement de MathematiquesPreing 2 - Integration et Probabilite2021 - 2022TD 2 - Integrales MultiplesExercice 0. Soit D le domaineD =x, y R2, x 0, y 0, x + y 1.CalculerZ ZDfx, ydxdy dans les cas suivants :fx, y = x2 + y2etfx, y = xy · x + y.Exercice 00. Calculer l’integrale doubleZ ZD1x + y3 dxdyavecD =x, y R2 : 1 x 3, y 2, x + y 5.Exercice 1. Soit a 0 et soit K l’ensemble limite par les cˆotes du triangle OAB avec A = 2a, a etB = 3a, 3a. Calculer :Z ZKx · y dxdy.Exercice 2. Soit 0 a b. PosonsK =x, y R2 : a x + y bet13 yx 3Calculer :Z ZKexpx + yxydxdy.On pourra effectuer le changement de variables :x′ = x + yety′ =yx + y .Exercice 3. Soit D le domaine delimite par les deux courbes d’equations :y2 = 4x + 4ety2 = 4x + 4.a Representer graphiquement D.b Calculer l’aire du domaine D.Exercice 4. On se propose dans cet exercice de calculerZ +ex2dx.1
Page 2 : 1. Justifier la convergence de cette integrale.2. Soit a 0. On note Ka le carre de centre 0 de cˆote 2a et Ca le disque de centre O et de rayon a. Ondefinit une fonction f sur R2 parfx, y = ex2y2.Justifier queZCaex2y2dxdy ZKaex2y2dxdy ZCa2ex2y2dxdy3. En effectuant un changement de variables en coordonnees polaires, calculerZCaex2y2dxdy.4. Deduire des questions precedentes la valeur deZ +ex2dx.Exercice 5. SoitD = x, y R2 : x2 + y2 2x 01. Montrer que D est un disque.2. CalculerZ ZDpx2 + y2dxdy.Exercice 6. CalculerR Rfx, ydxdy dans les cas suivants.a. fx, y =x+y2x2+y2+1 et=nx, y R2 : x2 + y2 1o.b. fx, y = xy2 et le disque delimite par le cercle d’equation :x2 + y2 2Rx = 0,R 0.c. fx, y = x2 + y2 et=x, y R2 : x2a2 + y2b2 1.Exercice 7.a. CalculerZxy dxdyou est la partie du plan limitee par :y = x2etx = y2.b. Calculer l’aire de la surface limitee par l’ellipse :x2a2 + y2b2 = 1,aveca 1, b 1.2
Page 3 : c. Calculer le volume limite par l’ellipsoide defini par :x2a2 + y2b2 + z2c2 = 1,aveca 1, b 1, c 1.d. Calculer le volume du secteur spherique, limite par la sphere de centre O et de rayon R et le demi-cˆonesuperieur de sommet O et d’angle 2α.Exercice 8. CalculerZΩfx, y, z dxdydzdans le cas suivants :1. fx, y, z =1x+y+z+13 etΩ=x, y, z R3 : x 0, y 0, z 0, x + y + z 1.2. fx, y, z =1x2+y2+z2 etΩ=x, y, z R3 : x2 + y2 + z2 R2.3. fx, y, z = x2y etΩ=x, y, z R3 : 0 y 1 x2, x + y + z 1.Exercice 9. CalculerZ Z ZDxyz dxdydz.ou D est le domaine limite par les plans d’equationx = 0;y = 0;z = 0et la sphere de centre O et de rayon 1, dont les points ont des coordonnees positives.Exercice 10. Calculer le volume limite par la sphere de centre O et de rayon 1 et le cylindre d’equationx2 + y2 x = 0.3
