TD2 Integrales Parametres
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Page 1 : 2024/2025Semestre 2 – PréIng 2Intégration et ProbabilitésTD2 - Intégrales à paramètresApplications du coursExercice 11. En utilisant le théorème de convergence dominée, calculerlimx→+Z π0cost expt2xdt.On pourra poser I = 0; π et A = 1; +.2. Calculerlimx→+Z 10x1 + x2t12 dx. On pourra poser I =0; 1 et A = 0; +.Exercice 2Déterminerlimn→+In =Z 101 + nx1 + xn dx.Exercice 3Soit fnx = 1n1n;2nx. Montrer que fnn converge localement uniformément sur R+ vers une fonction fque l’on déterminera, puis calculerlimn→+Z +0fnxdx.Commenter en comparant avec le thórème de convergence dominée.Exercice 4Montrer que la fonction F est continue sur A = π6 ; π6 , puis déterminer sa valeur en 0Fx =Z 10dt1 + t2 cosxt.Exercice 5Soit la fonctionFx =Z 10tx11 + tdt.Après avoir déterminer l’ensemble de définition de F, montrer que F est continue sur son ensemble dedéfinition.Exercice 6Montrer que la fonction F est de classe C1 sur R, avecFx =Z +0t1 + t4 lnt2 + x2dt.La fonction F admet-elle un minimum, et si oui, en quel point?Exercice 7Soit la fonction F définie par, pour x 0,Fx =Zπ20costt + x dt.Montrer que F est C2R+.Question BONUS : Déterminer une relation entre F ′′ et F. On ne demande pas de résoudre cette EDO,même si c’est techniquement faisable1
Page 2 : Exercices classiquesExercice 8Montrer les deux égalitéslimn→+Z +0dttn + et dt = 1 1elimn→+Z +01 tnn10;nt lntdt =Z +0et lntdt.Exercice 9Montrer que la fonction suivante est continue sur 0; 1Fx =Z 10etsintx dt.Exercice 10On souhaite montrer la valeur de l’intégrale de DirichletZ +0sinttdt = π2 .On définit la fonctionFx =Z +0sintxt1 + t2dt.1. Montrer que F est de classe C1R+.2. En utilisant la même méthode, peut-on montrer que F C2R+?3. Appliquer une intégration par parties sur l’intégrale définissant F ′, puis montrer que F ′ C1R+.4. Retrouver le résultat sur R+:F ′′x = Z +0t1 + t2 sintxdt.5. Question BONUS : Grâce à une équation différentielle d’ordre 2 sur F, déterminer une expressionexplicite de F et déterminer la valeur de l’intégrale de Dirichlet.Exercice 11Montrer les égalités suivantesZ 10dxxx =+Xn=11nnetZ 10lnxx 1dx =+Xn=11n2 .Exercices supplémentairesExercice 12 Intégrale de DirichletOn considère la fonction, pour x R+,Fx =Z +0sinttetxdt.1. Montrer que F est de classe C1R+.2
Page 3 : 2. Montrer queZ +1eixttdt = eixi x +Z +1eixti x1t2 dt.3. Montrer que F est continue sur R+ en s’aidant de la décomposition Fx = F1x + F2x avecF1x =Z 10sinttextdtetF2x =Z +1sinttextdt.Que vaut F0?4. Grâce à un calcul explicite de F ′, déterminer une expression de F puis la valeur de l’intégrale deDirichletZ +0sinttdt.Exercice 13 On considère la fonctionFx =Z +0etx1 + tdt.Donner l’intervalle de définition de F. Montrer que F est de classe C1, et après avoir déterminé uneéquation d’ordre 1 satisfaite par F, déterminer une expression de F.Exercice 14 inversion somme-intégraleMontrer dans un premier temps queZπ20ex cost cosx sintdt = π2 Z x0sinttdtpuis retrouver la valeur de l’intégrale de Dirichlet.3
