TD2 Integrales
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Page 1 : E.I.S.T.I. - Département Mathématiques2e Année Classe PréparatoireT.D. MATHEMATIQUES CPI. IIT.D. n◦2Intégrales Généraliséesle 02 mars 2020Ex.1a Montrer que l'integrale suivante est convergente et la calculer.I =Z +0t2 exp tdtb Nature de l'intégrale :J =Z +0ln xx2 1dx .Ex.2a Soit k R; montrer que l'integrale suivante est absolument convergente,pour k 0 :I =Z +1tk1 cos tdt.En déduire que l'intégrale,J =Z +1tk sin tdt,est dénie pourK 0.b Utiliser le résultat précédent pour étudier l'intégrale :K =Z +1t sint2dt .Ex.3On poseI =Zπ20lnsin xdxa Montrer que l'integrale I est convergente.b Montrer que :I =Zπ20lncos xdx,et queI = 12Zπ20ln12 sin2xdx,c Montrer que :I =Zπ20lnsin 2xdx,1
Page 2 : d Déduire de b et c la valeur de I.Ex.4On considère l'intégrale :I =Z +0tα exp tdtoù α est un paramètre réel.1 Pour quelles valeurs de α, l'integral I est-elle convergente ?2 On dénit la fonction Γ : R →R par :Γx =Z +0tx1 exp tdt a Pour quelles valeurs de x,Γx existe ? b Exprimer Γx + 1 en fonction de Γx, puis en déduireΓx + npour n N.3 Calculer Γ1 et Γn + 14 On pose :gx = lnΓx. a Montrer que gx + 1 = gx + lnx b Montrer que pour tout n 2, on a :gx + n gx = gn + lnx +n1Xk=1lnx + k ln k5 a En utilisant le changement de variable t = u2, montrer qu'on a :Γx = 2Z +0u2x1 exp u2du b On suppose que :Z +0exp x2dx =π2.Calculer alors :Γ12 c Montrer que :Γn + 12 = n 12n 32 . . . 12Γ12 d En déduire la valeur de Γn + 12.2
