TD2 Introduction à la mesure
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Page 1 : CY-Tech - Département Mathématiques1ère année Ingénieurs - Génie MathématiqueMesure & intégrationTD 2 – Introduction à la mesureSoient T une tribu de parties de Ωet m : T →0,+ une fonction d’ensembles positive. m estune mesure positive sur T si et seulement si les conditions suivantes sont vérifiées:1. m; = 0;2. m est σ-additive.Mesure – Rappel 1.EXERCICE 1 Soient Ωun ensemble, T une tribu de parties de Ωet m une mesure positive sur T . Mon-trer les propriétés suivantes:1. A,B T 2 tels que A B alors mA mB.2. An T pour tout n N, alors m³ SnNAnXnNmAn.EXERCICE 2 Soit Ω,T un espace mesurable. Soient x1,...,xk des éléments distincts de Ωet a1,...,akdes réels strictement positifs. On noteµ:T→0;B7→kXi=1aiδxi Boù δxi est la mesure de Dirac concentrée en xi. Montrer que µ est une mesure positive sur Ω,T .EXERCICE 3 Soit A = Sn0·n,n + 12n·. Calculer λA.EXERCICE 41. Soit x0,x1,x2,... des réels. Calculer λµ Sn0xn¶.2. En déduire λQ.EXERCICE 5 Montrer que tout ensemble fini ou dénombrable A est borélien, de mesure de Lebesguenulle λA = 0.1. On dit qu’un ensemble N T est m-négligeable si mN = 0.2. On dit qu’une partie N de Ωest m-négligeable s’il existe A T tel que N A et mA = 0.ensemble négligeable – Rappel 2.
Page 2 : Mesure et intégrationEXERCICE 6 Soit Ω,T ,m un espace mesuré et soit N l’ensemble des parties m-négligeables. On con-sidèrefT = A N; A T et N N .Pour tout A T et pour tout N N , on pose emA N = mA. Montrer que1. fT est une tribu sur Ωcontenant T .2. em définit une mesure positive sur fT qui coïncide avec m sur T .ING1 GM – TD22/2
