TD2 Morphismes
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Page 1 : Cycle Preparatoire -Premiere AnneeAgebre I - 2021/2022Groupes et morphismes de groupes1Lois de composition internesExercice 1Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier votrereponse.1. La soustraction est un LCI dans Z.2. 0 est l’element neutre de la soustraction dans Z.3. La soustraction dans Z est associative.4. 0 est l’element neutre pour l’addition dans N.5. L’addition est associative dans N.6. L’addition est une LCI dans l’ensemble des nombres entiers pairs.7. L’addition est une LCI dans l’ensemble des nombres entiers im-pairs.Exercice 2Preciser pour chacune des LCI definies ci-dessous si elle est associa-tive, commutative, possede un element neutre.1. x, y R, x y =px2 + y22. x, y R, x y = lnexp x + exp yExercice 3Pour tout x, y 0, 12, on pose :x y = x + y xy1. Montrer que 0, 1, est un magma commutatif et associatif.2. Montrer que 0, 1, possede un element neutre.3. Quels sont les elements inversibles de 0, 1, ?Exercice 4Soit E un ensemble muni d’une loi de composition interne associative et d’un element neutre. Un element de E est dit idempotent si xx = x.
Page 2 : 1. Montrer que si x et y sont idempotents et commutent, alors x yest idempotent.2. Montrer que si x est idempotent et inversible alors x1 est idem-potent.Exercice 5Soit E un ensemble muni d’une loi de composition interne associative.Pour tout a de E, on definit les applications ga et da de E dans E :x E, dax = x a et gax = a x.1. Montrer que s’il existe a dans E tel que ga et da soient surjectives,alors E possede un element neutre pour la loi .2. Montrer que si pour tout a de E, les applications ga et da sontsurjectives, alors tout element de E possede un inverse pour laloi .2Groupes, sous-GroupesExercice 6Sur G = R+ × R, on definit l’operation par :x, y x′, y′ = xx′, xy′ + yMontrer que G, est un groupe.Exercice 7Soit les quatre fonctions de Rdans R:f1x = x;f2x = 1x;f3x = x;; f4x = 1xMontrer que G = f1; f2; f3; f4 muni de la loi ◦est un groupe.Exercice 8Quel est le plus petit sous-groupe de R, + respectivement de R, ×contenant 1 ? Contenant 2 ?Exercice 9Les ensembles suivants, munis de l’addition des reels sont-ils des groupes ?Jus-tifier.1. a2; a N2. a2 + b3; a, b Z3. a2 + b3; a Z, b NExercice 10Les ensembles suivants, munis de la multiplication des reelles sont-ilsdes groupes ? Justifier.1. 1, 1, 12, 2
Page 3 : 2. a2n; a = ±1, n Z3. a + b2; a, b QExercice 11Soit S un sous-groupe d’un groupe G, et a G. Montrer que a1 S a =c = a1 b a; b Sest un sous-groupe de G, dit conjuguede S.Exercice 12Soit G, un groupe et A G, non vide. On pose :NA =x G; x1 A x = AMontrer que NA est un sous-groupe de G.Exercice 13Soit E un ensemble, G, un groupe et f une bijection de E vers G.Pour x, y E2, on pose x♯y = f 1fx fy. Montrer que la loide composition interne ainsi definie sur E munit E d’une structure degroupe.Exercice 14Soit E, et F, · deux groupes. On munit l’ensemble produit E × Fde la loi de composition definie par :x, y, x′, y′ E × F, x, y x′, y′ = x x′, y · y′1. Montrer que E × F, est un groupe.2. Soit E′ un sous-groupe de E et F ′ un sous-groupe de F. Montrerque E′ × F ′ est un sous-groupe de E × F, muni de la loi .Exercice 15Soit G =1, 1 muni de la loi definie par : x y = x + y1 + xy . Montrerque G, est un groupe abelien.Exercice 16Soit G un groupe et H et K deux sous-groupes de G.1. Montrer que H K est un sous-groupe de G.2. Montrer que H K est un sous-groupe de G ⇐⇒H K ou K H.Exercice 171. Soit n N. Montrer que nZ est un sous-groupe de Z.2. Montrer que tout sous-groupe de Z est de la forme nZ pour uncertain n N.3. Soit a, b Z. On note aZ + bZ = au + bv; u, v Z. Montrerque aZ + bZ est un sous-groupe de Z.En particulier, aZ + bZ = dZ pour un certain d Z. Montreralors que d = a b.
Page 4 : Exercice 18Soit H un groupe abelien. Un element x H est dit d’ordre fini lorsqu’ilexiste n N tel que la somme x+· · ·+x n fois soit egale a 0. Montrerque l’ensemble des elements d’ordre fini est un sous-groupe abelien deH.2.1Morphismes de groupesExercice 19On note Cl’ensemble des nombres complexes non nuls.1. Montrer que l’applicationf:C→Rz7→ z est un morphisme de groupes. On note U le noyau du morphismeci-dessus.2. Construire un isomorphisme de groupes de Cvers le groupe pro-duit R+ × U.Exercice 201. Soit G, un groupe, pour tout h G, on definie l’applicationφh:G→Gg7→h g h1a Montrer que, pour tout h G, l’application φh est un auto-morphisme de groupe φh AutG.b Determiner son inverse φ1h .c Montrer que φh ◦φk = φhk, pour tout h, k G.d Considerons l’application :φ:G, →AutG, ◦h7→φhMontrer que φ est un morphisme de groupe.e On suppose que G, · est commutatif. Determiner Le noyaude φ.Exercice 21Soit G un groupe. Montrer que l’application g 7→g1 est un morphismede groupes G →G, si et seulement si, G est abelien.
Page 5 : Exercice 22L’application f1 : C, × →R, ×, f1z = z, est-elle un morphismede groupes ? Si c’est le cas, determiner son noyau et son image. Idempour :f2 : Z2, + →Z, +, a, b 7→a bf3 : Z3, + →Q+, ×, a, b, c 7→2a × 3b × 5cExercice 23Soit a un element d’un groupe G, .1. Montrer que l’application f : k 7→ak definit un morphisme dugroupe Z, + vers G, .2. Determiner l’image et le noyau de f.Exercice 24Soient n Net f : R, × →R, × definie par fx = xn.1. Montrer que f est un morphisme du groupe R, × dans lui-mˆeme.2. Determiner l’image et le noyau de f.
