TD2 Suites
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Page 1 : Cycle pré-ingénieur - Première AnnèeAnalyse 1 - 2023/2024TD 2 - Suites numériquesGénéralités :Exercice 1. Donner un exemple de suite :1. Croissante et majorée.2. Ni croissante, ni décroissante.3. Ni majorée, ni minorée.Exercice 2. Écrire à l’aide de quantificateurs les propriétés suivantes :1. La suite un est positive à partir d’un certain rang.2. La suite un est constante à partir d’un certain rang.3. La suite un est croissante à partir d’un certain rang.Définition de la limite, opérations, techniques classiques :Exercice 3. Déterminer les limites des suites ci-après en revenant à la définition avec les quantifica-teurs :aun = n + 1n + 2bvn = n2 + 1n + 1cwn = 3 × 2n+1Exercice 4. Déterminer si elles existent les limites des suites définies par :a1092n2n + n3bn + 2 ncn sin nn + ndqn + n nepn2 + n + 1 pn2 + 1f1n + nn + 7ng3n + 7n2n + 5nhn2 + cos nsinn 3n2i1n2 + 2n2 + . . . nn2A faire chez soijn + 1 nkn 1n + 1l2n 3n+152nmn2 + 2n + 3 n2 + n + 1Exercice 5. Étudier les suites de terme général :1. un = an bnan + bn , avec a, b 02. un = 1 + a + a2 + ... + an , avec a 0Exercice 6. Déterminer si elles existent les limites des suites définies par :1
Page 2 : 1.limn→+1 + xnn, x RIndication : limt→0ln1 + tt= 12.limn→+nn23.limn→+sinn2 + 2n + 3n + 1πA faire chez soian1nbln1 + nn2Exercice 7. Déterminer si elles existent les limites des suites définies par :anenb1n +1n +1 + · · · +1n + ncEnxndn + 1 ncos enen!nn .Exercice 8. Soit x un réel.1. Déterminer la limite de un = 2 Ex + E2x + ... + Enxn2!2. En déduire que Q est dense dans RPropriétés de la limite, suites extraites et suites adjacentes :Exercice 9. Démontrer la propriété si elle est vraie, donner un contre exemple sinon.1. Si n N, un vn etlimn→+vn = 0 alorslimn→+un = 0.2. Une suite non majorée tend vers +.3. Si la suite un converge vers l, alors p N,limn→+un+p un = 0.4. Si les suites xn et yn divergent alors la suite xn + yn diverge.5. Si les suites xn et yn divergent alors la suite xnyn diverge.6. Pour toute suite de réels yn, si limn→xn = 0 alors limn→xnyn = 0 .7. Silimn→xnyn = 0 alors soitlimn→xn = 0 soitlimn→yn = 0. Indication : considérer l’exemplexn = 1 + 1n/2,yn = 1 1n/2 .8. Si un est convergente et les un sont strictement positifs, alors la limite de un est strictementpositive.9. Si un est une suite croissante et un 7 alors limn→un = 7.A faire chez soiExercice 10. Soient un une suite convergente, ℓsa limite, a un réel, si a ℓmontrer qu’il existeN N tel que :n N, n N =⇒un a2
Page 3 : Exercice 11. Démontrer la propriété si elle est vrai, donner un contre exemple sinon.1. Toute suite d’entiers convergente est stationnaire à partir d’un certain rang.2. Toute suite à termes positifs qui converge vers 0 est décroissante.3. Si la suite un converge alors un converge. Formuler et étudier sa réciproque.4. Si pour tout p N, u2p est positif et u2p+1 est négatif, alors la suite un diverge.5. Silimn→+nun = 1 alors la suite un converge.6. Si un est croissante, alors un tends vers +.7. Si limn→un = 12 alors la suite un est positive à partir d’un certain rang.8. Toute suite monotone est convergente.9. Toute suite croissante et majorée est bornée.10. Si la suite un est décroissante et n un 0, alors un tends vers 0 quand n tends vers +.Exercice 12. Justifier rigoureusement la divergence des suites suivantes :1. an = n sin nπ2 .2. bn = 1nn3 + 3n2 + 52 5n3.3. cn = 1nn1 + n cos nπ7Exercice 13. On suppose que unnN est une suite telle que u2nnN, u3nnN et u2n+1nN convergent.Montrer que unnN converge.Exercice 14. On définit les deux suites :un =nXk=11k2n + 1, et vn =nXk=11k2n.Montrer que ces deux suites convergent vers la même limite.Exercice 15. Soit un =nXk=11k1k. Montrer que u2n et u2n+1 sont adjacentes. En déduire que unconverge.Exercice 16. On considère les deux suites réelles définies paru0 = 1v0 = 12n N,un+1 = un + 2vn3vn+1 = un + 3vn41. Pour tout n N, on pose wn = vn un. Calculer wn en fonction de n et montrer que la suitewn converge. Quelle est sa limite ?2. Montrer que pour tout n N, un 0 et vn 0, puis montrer que un est croissante, vn estdécroissante et que pour tout n N, un vn.3. En déduire que les suites un et vn convergent et qu’elles ont la même limite.4. Pour tout n N on pose tn = 3un+8vn. calculer tn pour tout n N. En déduire que tn convergevers une limite que l’on précisera.5. Déduire la limite commune de un et vn.Pour aller plus loin3
Page 4 : Exercice 17. Soit unnN une suite de réels strictement positifs. On suppose quelimn→+un+1un= ℓavecℓ0, +.1. Montrer que, si ℓ 1, alorslimn→+un = 0.2. Montrer que, si ℓ 1, alorslimn→+un = +.3. Peut-on conclure si ℓ= 1 ?4. Appliquer ces résultats aux exemples suivants :a un = ann! , avec a R+b vn = nnn!c wn = annp avec a 1, + et p N.dna,a R.Exercice 18 Théorème de Cesàro. Soit unnNune suite réelle. n N, on posevn = u1 + · · · + unn=1nnXk=1uk.vn est la moyenne arithmétique des n premiers termes de la suite u.1. On supposelimn→+un = l avec l R. Montrer qu’alors on a aussilimn→+vn = l . Étudier laréciproque.2. Que peut-on dire silimn→+un = +?Exercice 19 Constante d’Euler. Soit :Hn = 1 + 12 + ... + 1n1. Montrer que pour tout n N , on a :1n + 1 lnn + 1 lnn 1n2. En déduire que :lnn + 1 Hn lnn + 13. En déduire la limite de Hn lorsque n tend vers +4. Montrer que la suite unn0 définie par :un = Hn lnnest décroissante et positive.5. Conclure La limite de un souvent notée γ est appelée la constante d’Euler, du nom du mathéma-ticien Suisse Leonhard Euler, 1707-1783, surnommé le "prince des mathématiciens". Cette limitevaut environ 0.5772156649... mais on ne sait toujours pas si ce réel est rationnel ou irrationnel.La question est toujours ouverte !Suites récurrentes de type un+1 = fun :Exercice 20. Étudier la suite un définie par :4
Page 5 : 1. un+1 = un + 1 avec u0 = 0, puis avec u0 = 2. On se placera dans I = 0; +.2. un+1 = 1un+ 1 avec u0 = 1, puis avec u0 = 2. On se placera dans I =0; +.Exercice 21. On considère la suite définie par : u0 = 0 et un+1 = 3 run2 .On pose fx = 3 rx2 .1. Montrer que n N, un 0; 3.2. Déterminer les points fixes de f dans cet intervalle.3. Montrer que la suite u2nn est croissante et la suite u2n+1n décroissante.4. On admet que f ◦f possède les mêmes points fixes que f dans l’intervalle 0; 3.Montrer que les deux suites extraites convergent vers la même limite et conclure.A faire chez soiExercice 22. On considère la fonction f : 0, →0, définie parfx = 1 + 2xet la suite récurrente unn0 vérifiant un+1 = fun et u0 = 1.1. Montrez que l’intervalle 1, 3 est stable par f. Que peut-on en déduire sur un ? Quel est le sensde variation de f sur 1, 3 ?Soient vn et wn les suites définies par vn = u2n et wn = u2n+1.2. Montrez que vnn0 est croissante et que wnn0 est décroissante.3. En déduire que vnn0 et wnn0 sont convergentes. Déterminez leur limite respective.4. Finalement, quelle est la nature de la suite unn0 ?Exercice 23. Étudier les suites un à termes réels vérifiantun+1 = 12unu2n 3un + 4pour tout n 0On pourra étudier les variation de la fonction f définissant cette suite, déterminer ses points fixes, étudierle signe de fx x puis distinguer plusieurs cas selon la valeur de u0.Suites complexes :Exercice 24. Étudier les suites suivantes :1. zn =n2inn3 + 12. zn = 1n + 1ni3. zn =nn + 3i nin + 15
Page 6 : 4. zn =n2i in + 1 3i2n + 4i 3n iExercice 25. Étudier la suite définie par la donnée de z0 C et la relation de récurrence :zn+1 = 132zn znExercice 26. Soient xnn0 et ynn0 deux suites réelles telles que :xn+1 = xn yn2yn+1 = xn + yn2On introduit la suite complexe de terme général zn = xn + iyn.1. Etablir une relation de récurrence entre zn et zn+1.2. En déduire que les deux suites réelles sont convergentes et donner leur limite.A faire chez soiExercice 27. Soit zn = an une suite complexe de raison a C.1. Étudier cette suite dans le cas a 1, puis dans le cas a 1.2. Dans le cas a = 1, on notera a = eiθ. Que se passe-t-il si θ2π Z ?3. Montre que siθ2π Q \ Z, la suite est périodique et donc divergente. Dans les autres cas, c-à-dlorsque θ2π /Q, on montre que la suite est également divergente.6
