TD2 Systeme lineaire Correction

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Page 1 : Cycle Pre-ingenieurPremiere AnneeAgebre II - 2023/2024Corrige TD2 : Systemes Lineaires1. Systemes LineairesExercice 11. Par substitution2x + y = 13x + 7y = 2⇔y = 1 2x3x + 71 2x = 2⇔x = 911y = 711Par pivot de Gauss2x + y = 1L13x + 7y = 2L2 ⇔2x + y = 13x 72x = 2 7 × 1L2 - 7L1⇔2x + y = 111x = 9⇔x = 911y = 7112.a Utilisons la methode par substitutionax + y = 2a2 + 1x + 2ay = 1⇔y = 2 axa2 + 1x + 2a2 ax = 1⇔y = 2 ax1 a2x = 1 4aSi a2 = 1, 1 4a ̸= 0 donc le systeme n’a pas de solution.Si a2 ̸= 1,S =1 4a1 a2 , 2a2 a + 21 a2b On resout en effectuant la somme et la differencea + 1x + a 1y = 1a 1x + a + 1y = 1⇔ax + ay = 1x y = 0Si a = 0, la premiere equation est equivalente a 0 = 1 donc il n’y a pas de solution.S = Si a ̸= 0, on effectuera a nouveau somme et difference :x + y = 1ax y = 0⇔x =12ay =12a1

Page 2 : S = 12a, 12aExercice 2ax + y z = 0Ix y = 0IIx + 4y + z = 0III⇔x + y z = 0x = y2x + 5y = 0III + IEn rempla¸cant y par x dans la derniere equation, on obtient x = y = 0 et z = 0 avec la premiereequation.S = 0, 0, 0b3x y + 2z = aIx + 2y 3z = bIIx + 2y + z = cIII⇔3x y + 2z = aI5x + z = b + 2aII + 2I7x + 5z = c + 2aIII + 2I⇔3x y + 2z = aI18z = 7b + 2a 5c + 2a7II 5III18x = c + 2a 5b + 2aIII 5II⇔3x y + 2z = az = 4a7b+5c18x = 8a+5bc18⇔x = 8a+5bc18y = 2ab7c18z = 4a7b+5c18cx + y + 2z = 5Ix y z = 1IIx + z = 3III⇔y + z = 2I IIIy 2z = 2II IIIx + z = 3⇔y + z = 2z = 0I + IIx + z = 32

Page 3 : ⇔x = 3y = 2z = 0S = 3, 2, 0Exercice 3x1 + x2 + x3 + x4 = 1Ix1 + x2 x3 x4 = 1IIx1 x2 + x3 x4 = 1IIIx1 x2 x3 + x4 = 1IV— On peut utiliser le pivot de Gauss sur la premiere equation.— On peut egalement effectuer les demi-sommes ou les demi-differences des equations 2 a 2 pourobtenir des simplifications importantes.— Plus rapidement, si on effectue la somme de toutes les equations, on obtient : 4x1 = 0Ensuite I + II permet de conclure que x2 = 0Puis I + IV permet de conclure que x4 = 0Et enfin avec n’importe quelle equation on obtient x3 = 1On verifie que 0, 0, 1, 0 est bien solution donc S = 0, 0, 1, 0Exercice 4On applique la methode du pivot de Gauss :x + 2y + 3z + 2t = 0L12x + 3y 5z + t = 0L23x 4y + 7z 3t = 5L32x + 3y + 8z + 2t = 6L4⇔x + 2y + 3z + 2t = 0L17y + z + 5t = 0 = 0L2←2L1 + L210y + 2z + 9t = 5L3←3L1 L3y 2z + 2t = 6L4←2L1 L4⇔x + 2y + 3z + 2t = 0L17y +z + 5t = 0 = 0L24z + 13t = 35L3←7L3 10L215z 9t = 42L4←L2 7L4⇔x + 2y + 3z +2t = 0L17y + z +5t = 0 = 0L24z + 13t = 35L3231t = 693L4←15L3 L4D’ou l’ensemble solution reduit a un element : S = 1; 2; 1; 3.3

Page 4 : Exercice 5On applique la methode du pivot de Gauss :x + 2y z + 3t = 1L13x + y + z + 2t = 6L2x 3y + 3z t = 5L35x + 5y z + 7t = 5L4⇔x + 2y z + 3t = 1L15y 4z + 7t = 9L2←3L1 L25y 4z + 4t = 6L3←L1 L35y 4z + 8t = 10L4←5L1 L4⇔x + 2y z + 3t = 1L15y 4z + 7t = 9L23t = 3L3←L2 L3t = 1L4←L4 L2⇔x + 2y z= 25y 4z= 2t = 1⇔2y z= x + 2L15y 4z= 2L2t = 1L3⇔z= x + 2y 2L13y= 4x + 10L2←4L1 L2t = 1L3En resolvant ce systeme, on trouve l’ensemble infini de solutions :S = x; 43x + 103 ; 53x + 143 ; 1 x CExercice 61.On applique la methode du pivot de Gauss :x y + z = mL1x + my z = 1L2x y z = 1L3⇔x y + z = mL1m + 1y 2z = 1 mL2←L2 L12z = m 1L3←L1 L3⇔x = y + m + 12m + 1y = 0z = m121er cas : m = 1. Le systeme admet une solution infinie :S = y, y, 1 y C2nd cas : m ̸= 1. Le systeme admet une solution unique :S =m + 12, 0, m 124

Page 5 : 2.x +y + mz + t = m + 1L1x + my +z + t = mL2mx +y +z + t = 1L3x +y +mz +t = m + 1L1m 1y + 1 mz= 1L2←L 2 L11 my + 1 m2z + 1 mt = m2 m + 1L3←L 3 mL11er cas : m = 1. Le systeme equivaut alors a :x + y + z + t = 20y + 0z= 10y + 0z + 0t = 1L’ensemble des solutions est alors vide.2nd cas : m ̸= 1. Le systeme equivaut alors a :x + y +mz + t = m + 1y z=1m 1y + m + 1z + t = m2 + m 1m 1Ce qui donne le systeme final :x + y+ t = mz + m + 1y= z +1m 1t = mm+1m1m + 2zL’ensemble des solutions est alors infini :S =z mm 1, z 1m 1, z, mm + 1m 1m + 2z z CExercice 71.On applique Pivot de Gaussax + by + z = 1L1x + aby + z = bL2x + by + az = 1L3⇔x +by +az = 1L1ba 1y + 1 az = b 1L2←L2 L1b1 ay + 1 a2z = 1 aL3←L3 aL1⇔x +by +az = 1L1ba 1y +1 az = b 1L21 a2 + az = b aL3←L3 + L25

Page 6 : — 1er cas : a /2, 1. Deux nouveaux cas se presentent :— Si b ̸= 0, l’ensemble des solutions est reduit a un unique element :S =a ba 1a + 2,ab + b 2ba 1a + 2,a ba 1a + 2— Si b = 0, le systeme equivaut a :x+az = 11 az = 11 a2 + az = b aLe systeme n’a alors de solutions que lorsque a = a + 2, ce qui n’est jamais verifie. Doncdans ce cas, l’ensemble solution est vide.— 2e cas : a = 1. Deux nouveaux cas se presentent :— Si b ̸= 1, l’ensemble des solutions est vide.— Si b = 1, alors S = x, y, 1 x y x, y C2.— 3e cas : a = 2. Le systeme est alors equivalent a :x + by 2z = 13by + 3z = b 10z = b + 2Deux nouveaux cas se presentent :— Si b ̸= 2, l’ensemble des solutions est vide.— Si b = 2, alors le systeme est equivalent a :x 2y 2z = 12y + z = 10z = 0L’ensemble des solutions est alors l’ensemble infini :S = 1 2y, y, 1 2y y C2.x + ay + bz = aL1x + by + az = bL2ax + y + bz = aL3bx + y + az = bL4⇔x +ay +bz = aL1b ay b az = b aL2←L2 L1ax +y +bz = aL3b axb az = b aL4←L4 L3— 1er cas : a ̸= b. Le systeme equivaut alors a :a + b + 1z = 1y= z + 1x= z + 1Deux nouveaux cas se presentent :6

Page 7 : — Si a + b ̸= 1, l’ensemble des solutions est reduit a un element :S =a + ba + b + 1,a + ba + b + 1, 1a + b + 1— Si a + b = 1, l’ensemble des solutions est vide.— 2nd cas : a = b. Le systeme equivaut alors a :x + ay + az = aax + y + az = a⇔x + ay= a1 zax + y= a1 zTrois nouveaux cas se presentent :— Si a = 1, l’ensemble des solutions est l’ensemble infini S = x, y, 1xy x, y C2.— Si a = 1, le systeme equivaut a :x = y,z = 1L’ensemble des solutions est l’ensemble infini S = x, x, 1 x C.— Si a /1, 1, l’ensemble des solutions est l’ensemble infini :S =aa + 11 z,aa + 11 z, zExercice 8Resoudre le systeme de n equations suivant, d’inconnue x1, . . . , xn Cn :x1+x2+x3+. . .+xn= 1,L1x1+2x2+2x3+. . .+2xn= 1,L2x1+2x2+3x3+. . .+3xn= 1,L3...x1+2x2+3x3+. . .+nxn= 1,LnOn applique la methode du pivot de Gauss :x1+x2+x3+. . .+xn= 1,L1x2+x3+. . .+xn= 1,L2 ←L2 L1x3+. . .+xn= 1,L2 ←L3 L2...xn1+xn= 1,Ln1 ←Ln1 Ln2xn= 1.Ln ←Ln Ln1Il en resulte immediatement que l’ensemble solution est reduit a un element : S = 1, 0, 0, . . . , 0.7

Page 8 : 1Rang d’une matriceExercice 1A =112224112IIIIII112000000III 2IIII IUne seule ligne ne contient pas que des 0 donc le rang de la matrice est 1B =402223416033IIIIII201123412011I/2IIIII/3201103300000III IIII ILe rang de la matrice est 2.t R, C =1t1t111t1IIIIII1t1t 11 t0000III IIII I1t10t 120000III It 1IIISi t = 1, le rang est 1.Si t ̸= 1, le rang est 2.D =1212230549671155IIIIIIIV1212012101230363III + IIII 4IIV I1212012100040000IIIIII IIIV + 3IIIl y a une seule ligne de 0 et 3 lignes non completement nulles donc le rang est 3.E =111b + cc + aa + bbccaabIIIIII1110a ba c0ca bcab bcIII b + cIIII bcI1110a ba c00b ca cIIIIII cIISi a = b = c, le rang est 1 2 lignes de 0.Si a ̸= b et a ̸= b et a ̸= c, le rang est 3.Sinon : si a = b, c ̸= a, le rang est 2 car a ̸= c.Si a = c, b ̸= a, le rang est 2 car a ̸= c.Si b = c, a ̸= b, le rang est 2 car a ̸= c.F =1cosxcos2xcosxcos2xcos3xcos2xcos3xcos4xIIIIII1cosxcos2x0cos2x cos2 xcos3x cos x cos2x0cos3x cos x cos 2xcos4x cos2x2III cosxIIII cos2xI8

Page 9 : 1cosxcos2x0sin2 xsin x sin2x0sin x sin 2xsin2 2xIIIIII1cosxcos2x0sin2 x2 sin2 x cos x02 sin2 x cos x4 sin2 x cos2 xIIIIII1cosxcos2x0sin2 x2 sin2 x cos x000IIIIII 2 cosxIISi x π 2π alors rangF = 1Si x ̸π 2π alors sin x ̸= 0 donc rangF = 2Exercice 2On applique pivot de Gauss1aa2a3aa2a31a2a31aa31aa21aa2a301a4a a5001 a4a a501 a4a a5a2 a61aa2a301a4a a5001 a4a a50001 a4Si a4 = 1 le rang est 1 car les lignes 2, 3 et 4 sont nulles. Dans tous les autres cas, le rang est 4.On peut egalement proceder de la maniere suivante : on soustrait a une ligne a fois la ligneprecedente. On obtient plus rapidement le mˆeme resultat :1aa2a301a4a a5001 a4a a50001 a49

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