TD2 Systeme lineaire
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Page 1 : Cycle Pre-ingenieurPremiere AnneeAgebre II - 2023/2024TD2 : Systemes Lineaires1. Systemes LineairesExercice 11. Resoudre de deux manieres differentes le systeme suivant par substitution, par la methodedu pivot de Gauss :2x + y = 13x + 7y = 22. Choisir la methode qui vous paraˆıt la plus rapide pour resoudre, selon les valeurs de a, lessystemes :ax + y = 2a2 + 1x + 2ay = 1eta + 1x + a 1y = 1a 1x + a + 1y = 1Exercice 21. Resoudre les systemes suivants :x + y z = 0x y = 0x + 4y + z = 0,x + y + 2z = 5x y z = 1x + z = 3et3x y + 2z = ax + 2y 3z = bx + 2y + z = cExercice 3En utilisant la methode d’echelonnement en colonnes et en lignes, resoudre les systemes lineairessuivants :x1 + x2 + x3 + x4 = 1x1 + x2 x3 x4 = 1x1 x2 + x3 x4 = 1x1 x2 x3 + x4 = 1etx + y + z = 1x + z λt = 2y t = 1y + z + t = 01
Page 2 : Exercice 4Resoudre les systemes d’inconnues x, y, z, t C4 suivant :x + 2y + 3z + 2t = 02x + 3y 5z + t = 03x 4y + 7z 3t = 52x + 3y + 8z + 2t = 6etx + 2y z + 3t = 13x + y + z + 2t = 6x 3y + 3z t = 55x + 5y z + 7t = 5Exercice 5Discuter selon m les solutions des systemes suivants :x y + z = mx + my z = 1x y z = 1etmx + y + z + t = 1x + my + z + t = mx + y + mz + t = m + 1Exercice 6Discuter selon a, b C2 les solutions des systemes d’inconnues x, y, z C3 suivants :ax + by + z = 1x + aby + z = bx + by + az = 1etx + ay + bz = ax + by + az = bax + y + bz = abx + y + az = bExercice 7Resoudre le systeme de n equations suivant, d’inconnue x1, . . . , xn Cn :x1 + x2 + x3 + . . . + xn = 1x1 + 2x2 + 2x3 + . . . + 2xn = 1x1 + 2x2 + 3x3 + . . . + 3xn = 1...x1 + 2x2 + 3x3 + . . . + nxn = 12
Page 3 : 2. Rang d’une MatriceExercice 9Calculer le rang des matrices suivantes en fonction des parametres qui les definissent :A =112224112B =402223416033C =1t1t111t1, ou t RD =1212230549671155E =111b + cc + aa + bbccaabF =1cosxcos2xcosxcos2xcos3xcos2xcos3xcos4x, ou x RExercice 10Determiner selon la valeur de a le rang de la matrice suivante :A =1aa2a3aa2a31a2a31aa31aa23
