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Page 1 : CPI.II T.D. MATHEMATIQUES1E.I.S.T.I. - Département Mathématiques2e Année Classe PréparatoireT.D. MATHEMATIQUES CPI. IIT.D. n◦2 Séries Numériquesle 10 octobre 2019Ex.11Soient unnN et vnnN deux suites vériant :un = vn vn1,n 1Comparer la nature de la série :XnNun et celle de la suite vnnN.2 Montrer que les séries de terme général suivant sont convergentes, encalculant leur somme : aun =11 + 2 + ...n bvn =1nn + 1n + 2 cwn = ln n + 12nn + 2Ex.2SoientXnNun etXnNvn deux séries à termes positifs convergentes .Etudier les séries de termes généraux :wn = unvnet tn = 1nunEx.31 SoitXnNun une série à termes positifs. a Montrer que la série de terme général :vn =un1 + n2unconverge. b Montrer que la série de terme général :wn =un1 + unest de même nature queXnNun.
Page 2 : CPI.II T.D. MATHEMATIQUES22 On se donne trois séries à termes positifs et convergentes :XnNun,XnNvnetXnNwn.Déterminer la nature de la série :XnNznoùzn = unvn + unwn + vnwnIndication : On peut développer un + vn + wn2 et trouver une majo-ration de znEx.4Soit annN une suite croissante de réels strictement positifs.On pose :un =1a0a1 . . . anDiscuter suivant la limite de la suite annN la convergence de la série :XnNun.Ex.5Nature des séries de terme général un :un =n2n2 + 1;un =pn2 + nn;un = arcsinn3 + 1n3 + 2;un =1lnn + 1;un = lnnn2 ;un = n + n2n3 1;un = sin3 1n;un = 1 cosh 1n;un = lnnnln nn n 2;un =12n 122n1 ;un = n + 1n + 2 . . . 2n2nn;un = n3n! ;un = n!22n!;un =nann + 1!avec a R+;un =an1 + a1 + a2 . . . 1 + anavec a R+;un =n22n + n;un = ln1 + tan 1n1 tan 1nEx.6Soit unnN la suite de nombres réels dénie par :u0 R+etn N un+1 = expunn + 1.Déterminer la nature de la sérieXnNun.
