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Page 1 : 2Modeles de l’atomeExercice 1 – Ordre de grandeur du rayon d’un atomeTrouver un ordre de grandeur de la taille d’un atome en supposant qu’un solidetel que le fer est la juxtaposition de petits cubes de cˆotes de longueur a. La massevolumique du fer est ρ = 7,8 g cm3, la masse molaire du fer est MFe = 56 g mol1et la constante d’Avogadro determinee pour la premiere fois par Johann Loschmidten 1865, puis par Jean Perrin d’une dizaine de manieres differentes a pour valeurNA 6 × 1023 mol1.Exercice 2 – Modele de Rutherford Perrin et NagaokaAu debut du XX e siecle, Jean Perrin, Hantaro Nagaoka et Ernest Rutherfordproposent successivement un mˆeme modele planetaire de l’atome dans lequel lenoyau de l’atome, charge positivement, jouerait le rˆole du Soleil autour duqueltourneraient des electrons dont la charge totale serait exactement l’opposee decelle du noyau. Pour etudier les limites de ce modele, nous considerons un atomed’hydrogene constitue d’un electron en mouvement circulaire uniforme autour duproton.1. Cadre de la mecanique du pointDans cette question, on etudie le mouvement de l’electron dans le cadre dela mecanique classique. On choisit pour referentiel celui du proton lie a unrepere cartesien.1.a. Pourquoi peut-on supposer que le referentiel du proton est galileen ?1.b. Quelles forces s’exercent sur l’electron ? Laquelle de ces forces estpredominante ?1.c. Exprimer le vecteur acceleration de l’electron en fonction de la norme vde sa vitesse et du rayon r de son orbite.1.d. En appliquant la deuxieme loi de Newton a l’electron, exprimer v2en fonction de r, de la vitesse de la lumiere dans le vide et du rayonclassique de l’electron :R =14πε0e2mc2.— 9/13 —
Page 2 : 1.e. Exprimer la periode T du mouvement circulaire de l’electron en fonctionde c, r et R.1.f. Exprimer l’energie mecanique E de l’electron en fonction de r, R, c etm.2. Prise en compte de l’electrodynamiqueL’electrodynamique classique permet de montrer qu’une charge ne se depla¸cantpas en mouvement rectiligne uniforme par rapport a un referentiel galileen,rayonne de l’energie. La puissance rayonnee par un electron ayant uneacceleration de norme a est donnee par la formule de Larmor :P =e26πε0c3a2.2.a. Expliquer en quoi ce rayonnement a un effet sur l’orbite de l’electron etdonner l’expression du vecteur acceleration de l’electron.2.b. On suppose a present que l’acceleration est toujours donnee par :a = v2/r. Exprimer la puissance rayonnee par l’electron.2.c. A l’aide d’un raisonnement energetique, montrer que la distance rseparant l’electron du proton verifie : ˙r = K/r2 avec K une constantepositive qui s’exprime en fonction de R et c. Donner l’expression de laconstante K.2.d. En supposant qu’a l’instant initial l’electron est a une distance r0 duproton, exprimer la duree τ de la chute de l’electron sur le proton.Faire l’application numerique en prenant pour r0 l’ordre de grandeurdetermine a l’exercice precedent.2.e. Comparer ce temps de chute a la periode T0 de revolution de l’electronautour du proton si son mouvement etait circulaire et de rayon r0.Exercice 3 – Modele de BohrEn 1913, Niels Bohr propose un nouveau modele d’atome permettant de concilierle spectre d’emission discret d’un atome avec la structure lacunaire de l’atomemise en evidence par Rutherford deux ans plus tˆot. Dans ce modele, Bohr proposeque les electrons sont sur des orbites circulaires dont le rayon ne peut prendre quecertaines valeurs precises souvent appelees ”couches electroniques” contrairementau modele planetaire de Rutherford. Par ailleurs, il reprend l’idee d’Einstein, ensupposant qu’un electron qui change d’orbite pour se rapprocher du noyau emet dela lumiere de frequence ν sous la forme d’un quantum d’energie hν.Dans cet exercice, on se propose de reprendre une partie de son raisonnement.— 10/13 —
Page 3 : 1. Montrer que la dimension de la constante de Planck est celle d’un momentcinetique :»σ = »r »p .2. Pour justifier son modele, Bohr suppose que le moment cinetique de l’electronest quantifie, c’es-a-dire que celui-ci ne peut prendre que certaines valeursdependantes d’un entier n strictement positifσn = mrnvn = n̵h2.2ou rn designe le rayon de l’orbite en question et vn la vitesse de l’electronsur cette orbite.2.a. Justifier que la norme du moment cinetique vaut σ = mrv et deduirede sa quantification les expressions de vn et rn en fonction de n.2.b. Determiner v1 et r1, les expressions de vn et rn pour n = 1. Exprimervn et rn en fonction de v1, r1 et n. Faire les applications numeriquespour r1 et v1. Commenter.2.c. En deduire l’expression de l’energie mecanique En en fonction de E1 etn. Donner l’expression et la valeur numerique de E1. Commenter.— 11/13 —
