TD2
Page 1 : 2024/2025Semestre 1 PréIng 2TD2 - Suites de fonctionsPartie I - ConvergencesExercice 1Soit fn une suite de fonctions réelles dénies sur un intervalle I de R, et convergeant simplement sur Ivers une fonction f. Que peut-on dire de f si chaque fonction fn est :1. monotone sur I ?2. paire ou impaire sur I = a, a, a R.3. convexe ou concave sur I ?On rappelle qu'une fonction est dite convexe sur un intervalle I si elle est vérie x, y I, t 0, 1,ftx + 1 ty tfx + 1 tfy.Exercice 2Étudier la convergence simple et la convergence uniforme de la suite de fonctions fn où pour tout n :fn : E →R.1. fnx =x1 + nx, E = 0, 1.2. fnx = nex + x2n + x, E = 0, 1, n ̸= 0.3. fnx = enx sinnx, E = R+.4. fnx =nx1 + n2x2 , E = R+, puis E = a, + avec a 0.5. fnx = xn 1xn + 1, E = R+.Exercice 3Soit p Net fn la suite de fonction dénie sur R par fnx =xpx2 + n.1. Pour quelles valeurs de p cette suite converge-t-elle uniformément sur R ?2. Pour quelles valeurs de p cette suite converge-t-elle uniformément sur tout intervalle borné de R ?Exercice 4On considère la suite des fonctions fn dénies sur 1, 1 par:fnx = sinnxenx2 +p1 x2.1. Montrer que la suite fn converge simplement sur 1, 1 vers une fonction f que l'on déterminera.2. Montrer que fn converge uniformément vers f sur tout segment α, 1 avec α 0, 1.3. Montrer que fn ne converge pas uniformément vers f sur 0, 1.1
Page 2 : Exercice 5On considère la suite de fonctions fn dénie sur R parfnx =x2 sin 1nx+ 1si x ̸= 01si x = 01. Montrer que fn converge simplement vers la fonction f : x 7→1 sur tout compact de R2. A-t-on convergence uniforme sur R ?Exercice 6On considère pour n Nla suite de fonctions fn dénie sur 0, π parfnx =sin xx1 + nxsi x ̸= 01si x = 01. Étudier les convergences simple et uniforme de fn sur 0, π.2. Soit a 0, π. Étudier la convergence uniforme de fn sur le segment a, π.Exercices SupplémentairesExercice 7Étudier la convergence simple et la convergence uniforme de la suite de fonctions fn où pour tout n :fn : E →R.1. fnx =1 xnnsi x 0, n,0si x n., E = R+.2. fnx = xn lnx prolongée avec fn0 = 0, E = 0, 1.3. fnx = enx2 sinnx2, E = 0, 1 puis E = a, 1 avec a 0, 1.4. fnx = nαxenx, E = R+, α R.Exercice 8Soit a 0, 1. Considérons la suite des fonctionsfn :C→Cz 7→1 + z + · · · + zn1. Montrer que fn converge uniformément vers f : z 7→1 z1 dans chaquedisque Da = z C, z a.2. Montrer que fn converge simplement, mais non uniformément, dans le disqueunité ouvert D = z C, z 1.2
Page 3 : Partie 2 - Théorèmes d'interversionExercice 9On considère la suite fn dénie sur 0, 1 parfnx =n2x1 nxsi x 0, 1n,0 sinon1. Montrer que la suite fn converge simplement vers une fonction f que l'on déterminera.2. CalculerZ 10fnx dxetZ 10fx dx.3. La suite fn converge-t-elle uniformément vers f sur 0, 1 ?4. Soit a 0, 1. Étudier la convergence uniforme de fn vers f sur a, 1.Exercice 10Calculer1.limn→+Z 10nexn + x dx2.limn→+Z 10x51 + x2n dx.Exercice 11On considère la suite fn dénie sur 1, 1 parfnx =x1 + n2x2 .1. Montrer que la suite fn converge uniformément sur 1, 1 vers la fonction nulle.2. Étudier la convergence de la suite f ′n sur 1, 1.3. Soit gn la suite de fonctions dénie sur 1, 1 pargnx = ln1 + n2x22n2.Montrer que la suite gn converge uniformément vers la fonction nulle sur 1, 1.Exercice 12On considère la suite fn dénie sur 0, 1 parfnx = nex + x2n + x1. Montrer que la suite fn converge uniformément vers une limite f à déterminer.2. En déduire la nature de la suiteun =Z 10nex + x2n + xdx.3
Page 4 : Exercices SupplémentairesExercice 13On considère la suite fn dénie sur 0, 1 parfnx = nx3 + xexnx + 11. Montrer que la suite fn converge simplement vers une limite f à déterminer.2. Montrer que la suite fn converge uniformément sur tout intervalle a, 1 avec a 0, 1. A-t-on con-vergence uniforme sur 0, 1 ?3. Montrer que fnx fx est bornée sur 0, 1.4. Déduire des questions précédentes la nature de la suiteun =Z 10nx3 + xexnx + 1dx.Exercice 14On considère la suite fn et la fonction ψ dénie sur R parfnx = x + 1n,ψx = x2.Montrer que fn converge uniformément sur R vers une limite f, mais que ψ ◦fn ne converge pas unifor-mément sur R vers ψ ◦f.Généralisation :Soit fn une suite de fonction de R dans R qui converge uniformément sur R vers une fonction f.1. Soit ϕ : R →R une fonction. Montrer que fn ◦ϕ converge uniformément sur R vers f ◦ϕ.2. Soit ψ : R →R une fonction uniformément continue sur R. Montrer que ψ◦fn converge uniformémentsur R vers ψ ◦f.3. À l'aide de l'exemple ci-dessus, que pouvez-vous dire si ψ n'est pas uniformément continue ?4
