TD2a
Page 1 : Cycle Pré-ING - Deuxième annéeSemestre 1 - 2022/2023Séries - TD 2Exercice 1 . Dans chacun des cas suivants, étudier la convergence simple et la convergence uniforme de la suited'applications fnnN, où pour tout n N, fn : E →R.1. fnx =x1 + nx sur E = 0, 1.2. fnx =nx1 + n2x2 sur E = R puis sur E = , a a, + où a 0.3. fnx = xn 1xn + 1 sur E = R+.4. fnx = 1 xn1 + x2n sur E = 0, 1 puis sur E = 0, a où a 0, 1.5. fnx = nex + x2n + xsur E = 0, 1,n ̸= 06. fnx = enxsinnx sur E = R+7. fnx = enx2sinnx2 sur E = 0, 1 puis sur E = a, 1 où a 0, 18. fnx = sinnx sur E =h0, π2ipuis sur E = 0, a où a i0, π2h9. fnx = sinx + 4π2n2 x4πn sur E = R+,n ̸= 010. fnx = nαxenx sur E = R+, avec α RExercice 2 . Soit k un entier positif ou nul et fnnNdénie par fnx =xkx2+n.1. Pour quelles valeurs de k cette suite converge-t-elle uniformément sur R.2. Pour quelles valeurs de k cette suite converge-t-elle uniformément sur toute partie bornée de RExercice 3 . Soit fnn⩾1 la suite des fonctions R dans R, dénie par0si x , 0,n2xsi x 0, 1n,1 n2x + 2n 1nsi x 1n, 2n1nsi x 2n, +1. Montrer quea fn converge simplement vers une fonctions f que l'on déterminera.b fn ◦fn ne converge pas simplement vers f ◦f.1
Page 2 : 2. Soit fn une suite de fonctions de R dans R. On suppose que fn converge uniformément sur R vers unefonction f. Montrer que la suite fn ◦fn converge simplement vers f ◦f.3. Soit à présent la suite de fonctions fnn⩾1 dénie, pour tout x R, par fnx = x2 + 1n. Montrer quea la suite fn converge uniformément sur R vers une fonction f que l'on déterminera.b la suite fn ◦fn ne converge pas uniformément sur R vers f ◦f.Exercice 4 . Soit fnnN la suite de fonctions dénie sur 1, 1 parfnx =x1 + n2x2 .1. Montrer que fnnN converge uniformément sur 1, 1 vers la fonction nulle.2. Étudier la convergence de f ′nnN sur 1, 1.3. Soit gnnNla suite de fonctions dénie sur 1, 1 pargnx = ln1 + n2x22n2.Montrer que gnnNconverge uniformément vers la fonction nulle sur 1, 1.Exercice 5 . Pour n N, soit fn : 0, 1 →R dénie parfnx =n2x1 nxsi x 0, 1n0sinon1. Étudier la convergence simple de fnnN.2. CalculerZ 10fntdt.Y a-t-il convergence uniforme de la suite de fonctions fnnN ?3. Soit a 0, 1. Étudier la convergence uniforme de fnnN sur a, 1.Exercice 6 . Calculerlimn→Z 10nexn + xdxetlimn→Z 10x51 + x2n .Exercice 7 .1. Montrer que la suite fnn⩾de fonctions dfinie sur 0, 1 par fnx = nex+x2n+xconverge uniformémentsur 0, 1 vers une fonction f à déterminer.2. En déduire la nature de la suite de terme généralun =Z 10nex + x2n + xdx2
Page 3 : Exercice 8 .1. Montrer que la suite de fonction fnn⩾0 dénie sur 0, 1 parfnx = nx3 + xexnx + 1converge simplement sur 0, 1 vers une fonction f que l'on déterminera.2. Montrer que l'on a convergence uniforme sur tout intervalle α, 1 avec α 0, 1. A-t-on convergenceuniforme sur 0, 1 ?3. Montrer que fnx fx est bornée sur 0, 1.4. Déduire des questions précédentes la nature de la suiteun =Z 10nx3 + xexnx + 1dxExercice 9 . Soit fnnN une suite d'applications de R dans R convergeant uniformément sur R vers uneapplication f : R →R.1. Soit ϕ : R →R une application.Montrer que fn ◦ϕnN converge uniformément vers f ◦ϕ sur R.2. Soit ψ : R →R une application uniformément continue sur R.Montrer que ψ ◦fnnN converge uniformément vers ψ ◦f sur R.3. Que peut-on dire si ψ n'est pas uniformément continue ?Prendre fnx = x + 1n et ψx = x2.Exercice 10 . Soient f : R →R une fonction continue et fnnNune suite des fonctions dénies sur R parfnx = fx + 1n.1. Montrer que fnnNconverge simplement vers f sur R.2. fnnNconverge-elle uniformément vers f sur R ? justier votre réponse.3. Montrer que, pour tout a, b R2 la suite de fonctions fnnNconverge uniformément vers f sur a, b.3
