TD2b
Page 1 : Cycle Pré-ING - Deuxième annéeSemestre 1 - 2022/2023Séries - TD2-BSéries de fonctionsExercice 1.Dans chacun des cas suivants, étudier la convergence simple et la convergence uniforme de la suited’applications fnnN, où pour tout n N, fn : E →R1. fnx =x1+nxsurE = 0, 1.2. fnx =nx1+n2x2 sur E = R puis sur E = , a a, +a 0.3. fnx = xn1xn+1 sur E = R+.4. fnx = 1xn1+x2n sur E = 0; 1 puis sur E = 0, a où a 0; 15. fnx = nex+x2n+xsur E = 0, 1,n ̸= 06. fnx = enx sinnx sur E = R+ puis sur E = a; 1 où a 0; 17. fnx = enx2 sinnx2sur E = 0, 1 puis sur E = a, 1 où a 0, 18. fnx = sinnx sur E = 0, π2 puis sur E = 0; a où a 0, π2 9. fnx = sinx + 4π2n2x4πn sur E = R+,n ̸= 010. fnx = nαxenx sur E = R+, avec α RExercice 2.Soit k un entier positif ou nul et fnnNdéfinie par fnx =xkx2+n pour k = 0 onadmet que f0x =1x2 + n ;1. Pour quelles valeurs de k cette suite converge-t-elle uniformément sur R ?2. Pour quelles valeurs de k cette suite converge-t-elle uniformément sur toute partie bornée de R ?Exercice 3.Un peu de théorie1. Soit fnn⩾1 la suite des fonctions R dans R, définie par0si x , 0n2xsi x 0, 1n1 n2x + 2n 1nsi x 1n, 2n1nsi x 2n, +Montrer que1/3
Page 2 : a fn converge simplement vers une fonctions f que l’on déterminera.b fn ◦fn ne converge pas simplement vers f ◦f.2. Soit fn une suite de fonctions continues de R dans R.On suppose que fn converge uniformément sur R vers une fonction f.Montrer que la suite fn ◦fn converge simplement vers f ◦f.3. Soit à présent la suite de fonctions fnn⩾1 définie, pour tout x R par fnx = x2 + 1n.Montrer quea la suite fn converge uniformément sur R vers une fonction f que l’on déterminera.b la suite fn ◦fn ne converge pas uniformément sur R vers f ◦f.Exercice 4.Soit fnnN la suite de fonctions définie sur 1, 1 parfnx =x1 + n2x21. Montrer que fnnN converge uniformément sur 1, 1 vers la fonction nulle.2. Etudier la convergence de f′nnN sur 1, 1.3. Soit gnnNla suite de fonctions définie sur 1, 1 pargnx = ln1 + n2x22n2Montrer que gnnNconverge uniformément vers la fonction nulle sur 1, 1.Exercice 5.Pour n N, soit fn : 0, 1 →R définie parfnx = n2x1 nxsi x 0, 1n0sinon1. Etudier la convergence simple de fnnN2. CalculerZ 10fntdtY a-t-il convergence uniforme de la suite de fonctions fnnN?3. Soit a 0, 1 . Etudier la convergence uniforme de fnnN sur a, 1.Exercice 6.Calculerlimn→Z 10nexn + x dxetlimn→Z 10x51 + x2nExercice 7.1. Montrer que la suite fnn⩾0 de fonctions définies sur 0, 1 par fnx = nex + x2n + xconvergeuniformément sur 0, 1 vers une fonction f à déterminer.2/3
Page 3 : 2. En déduire la nature de la suite de terme généralun =Z 10nex + x2n + xdxExercice 8.1. Montrer que la suite de fonction fnn⩾0 définie sur 0, 1 parfnx = nx3 + xexnx + 1converge simplement sur 0, 1 vers une fonction f que l’on déterminera.2. Montrer que l’on a convergence uniforme sur tout intervalle α, 1 avec α 0, 1. A-t-on conver-gence uniforme sur 0, 1?3. Montrer que fnx fx est bornée sur 0, 1.4. Déduire des questions précédentes la nature de la suiteun =Z 10nx3 + xexnx + 1dxExercice 9.Soit fnnN une suite d’applications de R dans R convergeant uniformément sur R vers une appli-cation f : R →R.1. Soit ϕ : R →R une application.Montrer que fn ◦ϕnN converge uniformément vers f ◦ϕ sur R.2. Soit ψ : R →R une application uniformément continue sur R. Montrer que ψ ◦fnnN convergeuniformément vers ψ ◦f sur R.3. Que peut-on dire si ψ n’est pas uniformément continue ? Prendre fnx = x + 1n et ψx = x23/3
