TD3-4 Correction
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Page 1 : 3Relations de HeisenbergExercice — Moyenne, écart-type et variance d’une grandeur1. Variable aléatoire discrète On considère une grandeur g note, salaire, nombred’habitants, etc. aléatoire. Celle-ci est supposée discrète : g ne peut prendre queN valeurs précises notées gi, avec i →1, N.1.a. Exprimer la valeur moyenne de g en fonction des gi. Cette valeur moyennesera notée ↑g↓.On veut à présent caractériser la dispersion des gi autour de la valeur moyenne.1.b. Montrer que la moyenne des écarts à la moyenne1N!igi ↔↑g↓ n’est paspertinente pour caractériser cette dispersion.1.c. La variance V = ↑g ↔↑g↓2↓est-elle directement pertinente pour caractérisercette dispersion ?1.d. La grandeur réellement pertinente est l’écart-type à la moyenne!g ="↑g ↔↑g↓2↓.3.1Montrer que!g2 = ↑g ↔↑g↓2↓= ↑g2↓↔↑g↓2.3.22. Variable aléatoire continueOn considère à présent une variable aléatoire continue y c’est-à-dire une variabledont les valeurs sont réparties sur un intervalle énergie, position, etc.. La répar-tition de cette variable aléatoire est caractérisée par une fonction ωy nommée« distribution de probabilité » de la variable y.Une distribution probabilité. très courante est la loi normale ou distribution deGauss ou gaussienne d’une variable aléatoire y →Rωy =1ε↗2ϑ exp↔y ↔mε↗2&23.3où m = ↑y↓est la valeur moyenne/espérance de y moment d’ordre 1 et εl’écart-type carré du moment centré d’ordre 2.— 17/28 —
Page 2 : 2.a. Dans le cas de la loi normale que vaut l’intégrale ci-dessous ?ˆ →↑→ωy dy2.b. Représenter graphiquement la distribution de Gauss. Indiquer m et approxi-mativement ε.2.c. On considère une aiguille posée horizontalement et capable de tourner. On re-père la position de cette aiguille grâce à un angle ϖ. Représenter la distributionde probabilité de ϖ si toutes les directions sont équiprobables.2.d. Quelle grandeur joue le rôle de distribution de probabilité en physique quan-tique ? À quelle variable aléatoire est-elle associée ?2.e. En déduire comment calculer la position moyenne ↑x↓et l’écart-type de laposition d’une particule dont l’état est décrit par la fonction d’onde ”.Exercice 7 — Particule dans un puits de potentiel infiniOn considère une particule de masse m enfermée dans un puits de potentiel de profondeurinfinie et de largeur L. L’objectif est d’utiliser les inégalités de Heisenberg pour montrerque l’énergie cinétique E minimale de la particule n’est pas nulle.1. Énergie minimale1.a. À partir de la relation de Heisenberg spatiale, déterminer une inégalitévérifiée par !p et L.1.b. Exprimer ↑E↓en fonction de ↑p2↓.1.c. En utilisant les résultats de l’exercice précédent, en déduire l’énergie cinétiqueminimale de la particule.1.d. Comparer ce résultat avec le cas d’une boule de billard dans une boite.2. Calculer !x en sachant que les états stationnaires d’une particule dans un puitsinfini de potentiel sontϱn =2L sinnϑxL+,3.4avec n →N↓.3. L’inégalité de Heisenberg serait-elle vérifiée pour une particule dont la probabilitéde présence serait uniforme sur 0; L ?Solution 71. 1.a. !x↘L soit !p ¯h2L.1.b. ↑E↓= ↔p2↗2m .1.c. Par définition !p2 = ↑p ↔↑p↓2↓. Soit !p2 = ↑p2↓↔↑p↓2. Donc ↑p2↓=!p2 + ↑p↓2 !p2. Au final↑E↓= ↑p2↓2m !p22m¯h28mL2.3.5— 18/28 —
Page 3 : Emin =¯h28mL23.6Remarque : le fait que la moyenne soit supérieure à une valeur minimalene signifie pas du tout que la valeur minimale est cette borne inférieure !Par contre, on peut dire que l’énergie moyenne est l’énergie car celle-ci estconservée, mais alors l’inégalité temps-énergie n’est pas vérifiée...2. 2.a.↑xn↓=ˆ L0xϱn2 dx= 2Lˆ L0x sin2nϑxL+dx = 2Ln2ϑ2ˆ nω0x sin2 x dx=Ln2ϑ2ˆ nω0x dx ↔Ln2ϑ2ˆ nω0x cos2x dx=L2nϑ ↔L2 x sin2xnω0 +Ln2ϑ2ˆ nω0cos2x dx3.7↑xn↓= L23.8↑x2n↓=ˆ L0x2ϱn2 dx= 2Lˆ L0x2 sin2nϑxL+dx = 2L2n3ϑ3ˆ nω0x2 sin2 x dx= 16,2n2ϑ2 ↔3- Lnϑ+23.9soit ↑x2↓=↑x2n↓=1 ↔32n2ϑ2+ L233.10!xn2 =1 ↔18n2ϑ2+ L2123.113. Répartition uniformeLa fonction d’onde d’une particule dont la probabilité de présence serait uniformeest ϱx = 1/↗L, soit↑x↓uni = ↑xn↓= L/23.12et↑x2↓uni = L233.13— 19/28 —
Page 4 : !x2uni = L212 .3.14Remarques• Les résultats sont cohérents avec le principe de correspondance de Bohr : à la limitedes grands nombres quantiques n ⇐1 le système quantique se comportera commeun système classique.↑x2n↓=1 ↔32n2ϑ2+ L23 =1 ↔32n2ϑ2+↑x2↓uni ⇒n↘→↑x2↓uni3.15!xn2 =1 ↔18n2ϑ2+ L212 =1 ↔18n2ϑ2+!x2uni ⇒n↘→!x2uni3.16• On peut calculer la moyenne de la quantité de mouvement p selon l’axe des x àcondition de savoir que dans le cas général à 1d :↑pn↓=ˆ L0ϱ↓pϱ.↔i¯hdϱndx/dx = 0,3.17où p est considérée comme un opérateur/application agissant sur la fonction d’ondede la manière suivante : p = ↔i¯h ddx. On a noté ϱ↓= ϱ. On a alors :↑pn↓=ˆ L0ϱn.↔i¯hdϱndx/dx = 03.18et!pn = ↑p2n↓=ˆ L0ϱn.↔¯h2d2ϱndx2/dx = . . . =.nϑ¯hL/23.19Au final!xn !pn =n2ϑ23↔2¯h ϑ23 ↔2¯h ⇑1,13¯h ¯h/2,3.20résultat en accord avec les relations d’Heisenberg. En revanche, pour une dis-tribution uniforme, les relations d’Heisenberg ne sont pas respectée puisque↑p↓= ↑p2↓= 0 et !x a une valeur finie.• Dans ce cas, on peut calculer ↑xkn↓pour tout k →N en utilisant la fonction Gammaincomplète n; x définie parn; x =ˆ x0tn↑1e↑t dt3.21et vérifiant n; 0 = n où n = n ↔1! est la fonction Gamma.— 20/28 —
Page 5 : Exercice 8 — Électron dans un piège harmoniqueOn considère un électron de masse m et de quantité de mouvement p piégé dans unpotentiel de type oscillateur harmonique. Son énergie potentielle est alors EP = 12mς2x2,avec ς = 6 ⇓108 rad · s↑1 la pulsation propre de l’oscillateur.1. Écrire l’énergie mécanique de l’électron en fonction de m, x, p et ς.2. Pour un piège harmonique la position moyenne et la quantité de mouvementmoyenne sont nulles. Exprimer ↑E↓en fonction de ↑x2↓.3. Montrer que l’énergie mécanique de l’électron est bornée inférieurement.Solution 81. E = p22m + 12mς2x22. ↑E↓= ↔p2↗2m + 12mς2↑x2↓= !p22m + 12mς2!x23.E .¯h↗2m !x ↔m2 ς !x/2+ ¯hς2 ¯hς2 ⇑6 ⇓10↑26 J = 0,4 µeV 3.23Exercice 9 — Électron dans l’atome d’hydrogèneOn considère un atome d’hydrogène de taille caractéristique a.1. Donner l’expression générale de l’énergie mécanique de l’électron.2. Trouver une borne inférieure à l’énergie de l’électron en fonction de constantesfondamentales et a. Celle-ci sera notée E0.3. Déterminer a0 la valeur minimale de a qui minimise E0.4. Comparer a0 au rayon r1 déterminé dans le modèle de Bohr.5. Expliquer en quoi les inégalités de Heisenberg justifient la stabilité de lamatière.6. En quoi le modèle de Bohr est-il en contradiction avec les inégalités deHeisenberg ?Solution 91. E = p22m ↔e24ωε0r.2. ↑E↓= E = ↔p2↗2m ↔e24ωε0a !p22m ↔e24ωε0a E0 =¯h24ma2 ↔e24ωε0a.3. On a dE0da =e22ωε0a2 ↔¯h22ma3 qui est minimal pour a0 = 2ωε0¯h2me24. a0 = r1/2.5. L’inégalité portant sur l’énergie impose une énergie minimale non nulle etnous avons montré, avec celle portant sur l’espace, que le rayon avait unevaleur minimale. Cela confirme le modèle de Bohr.— 21/28 —
Page 6 : 6. Dans le modèle de Bohr, les électrons ont des trajectoires bien préciseset indépendantes du temps. Dans ce modèle, on aurait !r = 0 et !p = 0.Les inégalités de Heisenberg contiennent intrinsèquement le fait que lanotion d’orbite n’a pas de sens en mécanique quantique et qu’il faut uneinterprétation probabiliste.— 22/28 —
Page 7 : 4Équation de SchrödingerAn Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules, Erwin Schrödinger,Physical Review vol. 28, issue 6, pp. 1049–1070, 1er décembre 1926.Dans les deux exercices ci-dessous, on considère une particule provenant de ↔⇔,d’énergie E et de masse m.Exercice 10 — Marche de potentielLa particule rencontre une marche de potentielV x =0si x →I1 = ↔⇔; 0V0si x →I2 = 0; +⇔1. Cas E V01.a. Montrer que sur I1 un état stationnaire de la particule peut être repré-senté par la fonction d’onde φx = A1 exp ik1x + B1 exp ↔ik1x, aveck1 une constante à déterminer.On cherche ω solution de l’équation de Schrödinger pour les états station-naires indépendante du temps :↔¯h22md2ωdx2 x + V xωx = Eωx, avec E V0.4.1Sur I1,la solution ded2ωdx2 x + k21ωx = 0, avec k1 =↗2mE/¯h4.2peut bien s’écrireωx = A1 exp ik1x + B1 exp ↔ik1x , avec A1, B1 →C4.31.b. Montrer que sur I2 un état stationnaire de la particule peut être repré-senté par la fonction d’onde φx = A2 exp ik2x, avec k2 une constanteà déterminer.— 23/28 —
Page 8 : Sur I2, la solution mathématique ded2ωdx2 x + k22ωx = 0, avec k2 =2mE ↔V0/¯h4.4peut s’écrire ωx = A2 expik2x + B2 exp↔ik2x avec A1, B1 →C. Puisque,d’une part la particule incidente ne peut être réfléchie à l’infinie car le potentielreste constant, et que d’autre part, il n’y a pas d’émission de particule depuis+⇔, on doit avoirlimx→↑↓ωx = 04.5ce qui n’est possible que si B2 = 0. La solution physique est doncωx = A2 exp ik2x , avec A2 →C.4.61.c. Pour quelle raison peut-on supposer φ et φcontinues au niveau de lamarche x = 0 ? En déduire l’expression de A1/2 et B1 en fonction de k1et k2.La continuité de la partie spatiale de la fonction d’onde et de sa dérivée premièreest assurée en x = 0 car la discontinuité du potentiel est d’amplitude finie. Ondoit donc avoirω0↑ = ω0+ =↖B1A1= k1 ↔k2k1 + k24.7etdωdx0↑ = dωdx0+ =↖A2A1=2k1k1 + k2.4.81.d. Que représente R =B1A12 ? L’exprimer en fonction de k1 et k2.R est la probabilité de réflexion de la particule par la marche de potentielR = 1 ↔4k1k2k1 + k22 =V02E ↔V0+2.4.91.e. Déterminer la probabilité de transmission à l’aide de l’interprétation deBorn.Dès lors que la particule est soit transmise avec une probabilité T soit réfléchieavec une probabilité R, on a R + T = 1. Avec l’expression précédente de R, onaT =4k1k2k1 + k22 = 4EE ↔V02E ↔V024.101.f. Discuter le cas E ⇐V0.— 24/28 —
Page 9 : On pose ε = V0ER = 14ε1 ↔ε/2+2↙ε44.11T =1 ↔ε1 ↔ε/224.12limω→0 R = 0etlimω→0 T = 1.4.132. Traiter le cas E V0 sur I2.Dans ce cas, la solution de l’équation de Schrödinger pour les états stationnairessur I2 estωx = A3 expϑx + B3 exp↔ϑx4.14avec ϑ =2mV0 ↔E/¯h. La solution devant restée bornée pour x ⇒⇔, on aA3 = 0 soit au final ωx = B3 exp↔ϑx. Sur I1, la solution reste la même qu’à laquestion précédente. Les conditions de continuité donnentB1A1= k1 ↔iϑk1 + iϑ4.15etB3A1=2k1k1 + iϑ4.16La probabilité de réflexion vaut alors R = 1.3. En quoi les solutions déterminées précédemment ne décrivent pas un étatphysique de la particule ? En quoi ces solutions restent utiles pour déterminerun état physique pertinent ?Dans le cas E V0, les solutions ne sont pas normalisables. Pour E V0 et surI2 la condition de normalisation impose B3 = ↗2ϑeiε, avec ϖ →R, terme de phaseindéterminée.— 25/28 —
Page 10 : Exercice 11 — Barrière de potentielLa particule rencontre en x = 0 une barrière de potentiel de hauteur V0 0 et de largeura :V x =0 si x 0 région 1V0 si x →0; a région 20 si x a région 3.On se place dans le cas où l’énergie E de la particule est inférieure à la hauteur de labarrière V0 E 0.1. Fonctions d’ondes dans les régions 1 et 31.a. Montrer que dans la région 1 respectivement 3, la fonction d’onde dela particule peut s’écrire :φ1/3x = A1/3eikx + B1/3e↑ikx,avec k une constante à déterminer.Dans ces deux régions, l’équation de Schrödinger indépendante du temps s’écritω↔↔x + k2ωx = 0, aveck2 = 2mE/¯h2équation dont les solutions sont bien celles proposées1.b. Justifier que B3 = 0 ?La particule provient de la gauche et est libre à droite de la barrière x 0.Elle ne peut donc par revenir de +⇔: limx→↑↓ωx = 0, condition possibleseulement si B3 = 0.2. Montrer qu’à l’intérieur de la barrière, la fonction d’onde peut s’écrire :φ2x = A2eqx + B2e↑qx,avec q une constante à déterminer.En tenant compte du potentiel V0, l’équation de Schrödinger indépendante dutemps s’écrit :ω↔↔x ↔q2ωx = 0, avecq2 = 2mV0 ↔E/¯h2,dont la solution correspond bien au résultat cherché.3. En utilisant les conditions que doit vérifier la fonction d’onde aux pointsde discontinuité du potentiel, établir un système d’équation portant sur lesconstantes Aj et Bj pour j →1; 2; 3.— 26/28 —
Page 11 : La barrière de potentiel est de hauteur finie, il doit donc y avoir continuité de lafonction d’onde et de sa dérivée première aux "frontières". En x = 0, on a :ω10 = ω20ω↔0 = ω↔20soitA1 + B1 = A2 + B2ikA1 ↔B1 = ↔qA2 ↔B2De même, en x = a, on obtient :A2eqa + B2e↑qa = A3eikaqA2 ↔B2 = ikA3Sous forme matricielle111↔1A2B2=11↔ik/q+ik/qA1B14.17A3eika1=eqae↑qa↔iq/k+iq/kA1B14.184. À partir du système précédent, exprimer A1 et B1 en fonction de A3.A1 =coshqa ↔ik2 ↔q22kqsinhqa+eikaA3etB1 = ↔ik2 + q22kqsinhqaeikaA3 = iImk2 + q2k2 ↔q2 A1+5. On définit deux coe!cients R et T de la manière suivante :R =B1A12et T =A3A12.5.a. Interpréter ces deux coe!cients. Que vaudraient-ils pour une particuleclassique ?5.b. Exprimer T en fonction de V0 ainsi que de la masse m et de l’énergie Ede la particule.5.c. Déterminer T dans l’approximation d’une « barrière épaisse » qa ⇐1.5.d. Dans cette approximation, calculer T dans le cas d’un électron d’énergieE = 1 eV, d’une barrière de longueur a = 1 Å et de hauteur V0 = 2E.— 27/28 —
Page 12 : R est la probabilité de réflexion de la particule sur la barrière de potentiel et Tcelle de transmission est la probabilité que la particule passe à droite de labarrière.T =A3A12=4k2q24k2q2 + k2 + q22 sinh2qasoitT =4EV0 ↔E4EV0 ↔E + V02 sinh2a2mV0 ↔E/¯hou encore :T =4EV0 ↔E4EV0 ↔E + V02 sinh2a/ϱ,avec ϱ = ¯h/2mV0 ↔E une « longueur de pénétration ». Attention : laparticule ne pénètre pas dans la barrière, mais a une probabilité non-nulle de« sauter » au-dessus en raison des fluctuations de son énergie.Dans l’approximation d’une barrière épaisse a ⇐ϱ, la probabilité de transmis-sion devientT ⇑16EV0 ↔EV02e↑2a/ϑcar pour x ⇐1, sinhx ↙ex.L’application numérique donne T ⇑0,78. L’électron a 8 chances sur 10 depasser de l’autre côté de la barrière, ce qui classiquement n’est pas envisageable !— 28/28 —
