TD3 Application lineaires
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Page 1 : Algèbre 2Préing 12024 – 2025TD3 – Applications linéairesExercice 1. Dans chaque cas, dire si l’application f : R3 →R3 est linéaire.1. f x, y,z := x 2z, 3z, x + y + z.2. f x, y,z := x + y, z, 1+ y + z.3. f x, y,z := z + y, xy, x.Exercice 2. Dans chacun des cas suivants, déterminer si l’application f : E →F est linéaire.1. E := FR,R, F := R et pour tout u E, f u := u1.2. E := C 00,1,R, F := C 10,1,R et pour tout u E, f u est la fonction x 7→R x0 utdt.3. E := C 00,1,R, F := R et pour tout u E, f u :=R 10 ut2 dt.4. E := C 00,1,R, F := R et pour tout u E, f u := maxt0,1 ut.5. E := C 2R,R, F := R3 et pour tout u E, f u :=¡u0,u′0, 12u′′0¢.6. E :=©u RN ¯¯unnN convergeª, F := R et pour tout u E, f u := limn→un.7. E := RnX , F = RnX et pour tout P E, f P := P + X P′.8. E := RX , F := R1X et pour tout P E, f P est le reste de la division euclidienne de P par X 2 +1.Exercice 3. Soient a,b,c R, on considère le système linéaire :x y + z + t = ax+2z t = bx + y +3z 3t = c.Sa,b,cPosons f : R4 →R3 l’application linéaire définie pour tout x, y,z,t R4 par :f x, y,z,t := x y + z + t, x +2z t, x + y +3z 3t.1. Échelonner le système Sa,b,c par la méthode du pivot de Gauss.2. En déduire une base de Ker f . L’application f est-elle injective?3. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur a,b,c pour que le système Sa,b,c soit compa-tible.4. En déduire une base de Im f . L’application f est-elle surjective?5. Vérifier la validité du théorème du rang sur cet exemple.Exercice 4. Soit f : R4 →R3 l’application linéaire définie pour tout x, y,z,t R4 par :f x, y,z,t := x +2y +2t, x + y + z, 2x + y + z + t.1. À l’aide du théorème du rang, montrer sans calculs que f n’est pas injective.2. Déterminer une base de ker f .3. En déduire que f est surjective.Exercice 5. Pour chaque application, vérifier qu’elle est linéaire, déterminer son noyau et son image, puisen déduire si elle est injective/surjective/bijective.1. f : R3 →R3 définie par f x, y,z := x + y + z, 2x + y, 2x + z.1
Page 2 : 2. f : R3 →R2 définie par f x, y,z := y z, z x, x y.3. f : C 1R,R →C 0R,R définie par f u := u′.4. f : R5X →R définie par f P := P1.5. f : RnX →R3 définie par f P :=¡P1,P0,P1¢, pour n = 2, puis pour n = 3.6. f : RX →RX définie par f P := aP +P′, où a R discuter selon la valeur de a.Exercice 6. Soient E et F des K–espaces vectoriels respectivement de dimensions finies n et p, et soitf : E →F une application linéaire. À l’aide du théorème du rang, déterminer une condition nécessaire surles entiers n et p pour que :1. f soit injective.2. f soit surjective.3. f soit bijective.Exercice 7. Soit n N, on considère l’application :f : RnX →Rn1X P7→PX +1PX .1. Montrer que f est bien à valeurs dans Rn1X et que f est linéaire.2. L’application f est-elle injective?3. Déterminer Ker f et Im f .Exercice 8. Soit E un espace vectoriel de dimension 3 et soit B := e1,e2,e3 une base de E. On considèref l’endomorphisme de E défini par :f e1 = e2 +e3,f e2 = e3 +e1,f e3 = e1 +e2.Soit x := x1e1 + x2e2 + x3e3 avec x1,x2,x3 R3.1. Déterminer les coordonnées de f x dans la base B.2. L’application f est-elle un automorphisme de E ?Exercice 9. Soient E, F et G des K–espaces vectoriels de dimensions finies et soit f L E,F.1. Si g L G,E est surjective, montrer que rgf ◦g = rgf .2. Si h L F,G est injective, montrer que rgh ◦f = rgf .Exercice 10. L’objectif de cet exercice est de démontrer la formule de Grassmann à partir du théorèmedu rang. Soit E un K–espace vectoriel de dimension finie, et soient F et G des s.e.v. de E. On considèrel’application :f : F ×G→Eu,v7→u + v.1. Exprimer dimF ×G en fonction de dimF et dimG.2. Vérifier que f est linéaire.3. Déterminer Im f .4. Montrer que Ker f est isomorphe à F G.5. Appliquer le théorème du rang et en déduire la formule de Grassmann.Exercice 11. L’objectif de cet exercice est de démontrer le théorème du rang. Soient E et F des K–espacesvectoriels et soit f : E →F une application linéaire.1. Soit G un sous-espace vectoriel de E. Notons g := fG la restriction de f à G.a. Montrer que g est linéaire de G dans F.b. Montrer que Kerg = Ker f G.2. On suppose à présent que E est de dimension finie. Soit S un supplémentaire de Ker f dans E, etappelons g la restriction de f à S.a. Montrer que g est injective.b. Montrer que Img = Im f .c. En déduire que S et Im f sont isomorphes, et établir le théorème du rang.2
