TD3 Correction
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Page 1 : Deuxieme Semestre 2021-2022CY TechTD Integration & ProbabilitesIntegrales Multiples.Integration & Probabilites
Page 2 : Exercice 00Soit D le domaineD =nx, y R2, x 0, y 0, x + y 1o.CalculerZ ZDf x, ydxdy dans les cas suivants :f x, y = x2 + y 2etf x, y = xy · x + y.Solution : On commence par decrire le domaine d’integration. Nous avonsD=nx, y R2, x 0, y 0, x + y 1o=nx, y R2, x 0, 0 y 1 xo=nx, y R2, 0 x 1, 0 y 1 xo.Ainsi pour f x, y = x2 + y 2, on aZ ZDf x, ydxdy =Z 10Z 1x0x2 + y 2 dydx.Integration & Probabilites
Page 3 : Exercice 0MaintenantZ 10Z 1x0x2 + y 2 dydx=Z 10x2y + y 331x0dx=Z 10x21 x + 1 x33dx=Z 104x33+ 2x2 x + 13dx=4x412 + 2x33 x22 + x310=13 + 23 12 + 13=16.Integration & Probabilites
Page 4 : Exercice 0De mˆeme, pour f x, y = xyx + y, on aZ ZDf x, ydxdy=Z 10Z 1x0xyx + y dydx=Z 10Z 1x0x2y + xy 2 dydx=Z 10x2y 22+ xy 331x0dx=Z 10x21 x22+ x1 x33dx...a vous de faire les calculs=130.Integration & Probabilites
Page 5 : Exercice 00Calculer l’integrale doubleZ ZD1x + y3 dxdyavecD =nx, y R2 : 1 x 3, y 2, x + y 5o.Solution : On commence par decrire le domaine d’integration. Nous avonsD=nx, y R2 : 1 x 3, y 2, x + y 5o=nx, y R2 : 1 x 3, 2 y 5 xo.Ainsi, nous avonsZ ZD1x + y3 dxdy=Z 31Z 5x21x + y3 dydx=Z 3112x + y25x2dx=Z 3112 125 1x + 22dx =275.Integration & Probabilites
Page 6 : Exercice 1Soit a 0 et soit K l’ensemble limite par les cˆotes du triangle OAB avecA = 2a, a et B = 3a, 3a. Calculer :Z ZKx · y dxdy.Solution : Le triangle sur lequel on integre est donne par l’union des deuxtriangles :K1 = 0x2ax2yxetK2 = 2ax3a2x 3ayxAinsiZ ZKx · y dxdy=Z ZK1x · y dxdy +Z ZK2x · y dxdy=Z 2a0 Z xx2x · y dy!dx +Z 3a2aZ x2x3ax · y dydx=Z 2a0x · Z xx2y dy!dx +Z 3a2ax ·Z x2x3ay dydx=Z 2a0x ·y 22xx2dx +Z 3a2ax ·y 22x2x3adx.Integration & Probabilites
Page 7 : Exercice 1Par consequentZ ZKx · y dxdy=Z 2a0x ·y 22xx2dx +Z 3a2ax ·y 22x2x3adx=Z 2a0x32 x38 dx +Z 3a2ax32 x · 2x 3a22dx=38Z 2a0x3dx +Z 3a2a32x3 + 6ax2 92a2xdx=318 a4.Integration & Probabilites
Page 8 : Exercice 2Soit 0 a b. PosonsK =x, y R2 : a x + y bet13 yx 3Calculer :Z ZKexpx + yxydxdy.On pourra effectuer le changement de variables :x′ = x + yety ′ =yx + ySolution : Posons x′=x + yy ′=yx+y=⇒ x=x′1 y ′y=x′y ′Alorsa x + y b=⇒a x′ b,ety ′ =yx + y=⇒1y ′ = x + yy= 1 + xy .Integration & Probabilites
Page 9 : Exercice 2Or13 yx 3=⇒13 xy 3=⇒43 1 + xy 4=⇒43 1y ′ 4.D’ou14 y ′ 34.Maintenantxx′xy ′yx′yy ′=1 y ′x′y ′x′= x′.Integration & Probabilites
Page 10 : Exercice 2AinsiZ ZKexpx + yxydxdy=Z ZK′expx′x′p1 y ′y ′ x′dx′dy ′=Z baexpx′ Z3414dy ′p1 y ′y ′!dx′=Z baexpx′dx′· Z3414dy ′p1 y ′y ′!=hex′iba · Z3414dy ′p1 y ′y ′!=ea eb· Z3414dy ′p1 y ′y ′!.Or1 y ′y ′ = y ′ y ′2=14 y ′ 122=141 2y ′ 12Integration & Probabilites
Page 11 : Exercice 2Ce qui nous permet d’ecrireZ3414dy ′p1 y ′y ′=Z3414dy ′12p1 2y ′ 12 .Posonsu = 2y ′ 1=⇒2dy ′ = du.AlorsZdy ′12p1 2y ′ 12=Zdu1 u2=arcsinu=arcsin2y ′ 1.Integration & Probabilites
Page 12 : Exercice 2FinalementZ ZKexpx + yxydxdy=ea eb· Z3414dy ′p1 y ′y ′!=ea eb·harcsin2y ′ 1i 3414=ea eb·arcsin64 1arcsin24 1=ea eb·arcsin12arcsin12=2ea eb· arcsin12Par consequentZ ZKexpx + yxydxdy=2ea eb· π6=ea eb· π3 .Integration & Probabilites
Page 13 : Exercice 3Soit D le domaine delimite par les deux courbes d’equations :y 2 = 4x + 4ety 2 = 4x + 4.a Representer graphiquement D.b Calculer l’aire du domaine D.Solution :a Pour representer graphiquement D, commen¸cons par etudier les courbes :y 2 = 4x + 4ety 2 = 4x + 4.D’abordy 2 0=⇒4x + 4 = y 204x + 4 = y 20=⇒ x1x1Ainsix 1,y 2 = 4x + 4⇐⇒y = ±2x + 1,etx 1,y 2 = 4x + 4⇐⇒y = ±21 x.Integration & Probabilites
Page 14 : Exercice 3Par consequent, la region a l’interieur de la courbe y 2 = 4x + 4 est donnee par :D1 =nx, y R2 : 1 x, 2x + 1 y 2x + 1o.Et la la region a l’interieur de la courbe y 2 = 4x + 4 est donnee par :D2 =nx, y R2 : x 1, 21 x y 21 xo.Le domaine D, delimite par ces deux courbes est donne donc par l’intersectionD1 D2. Maintenantx 1, 0,2x + 1 21 x.De mˆemex 0, 1,21 x 2x + 1.Ainsi, nous avonsD = D1 D2=U1 U2,ouU1=nx, y R2 : 1 x 0, 2x + 1 y 2x + 1o,U2=nx, y R2 : 0 x 1, 21 x y 21 xo.Integration & Probabilites
Page 15 : Exercice 3b Calculer l’aire du domaine D.Solution : Nous avonsZ ZD1 dxdy=Z ZU11 dxdy +Z ZU21 dxdy=Z 01 Z 2x+12x+11 dy!dx +Z 10 Z 21x21x1 dy!dx=Z 014x + 1dx +Z 104x 1dx=423x + 132014231 x3210=831 + 1 = 163 .Integration & Probabilites
Page 16 : Exercice 4On se propose dans cet exercice de calculerZ +ex2dx.1. Justifier la convergence de cette integrale.2. Soit a 0. On note Ka le carre de centre 0 de cˆote 2a et Ca le disque de centreO et de rayon a. On definit une fonction f sur R2 parf x, y = ex2y2.Justifier queZCaex2y2dxdy ZKaex2y2dxdy ZCa2ex2y2dxdy3. En effectuant un changement de variables en coordonnees polaires, calculerZCaex2y2dxdy.4. Deduire des questions precedentes la valeur deZ +ex2dx.Integration & Probabilites
Page 17 : Exercice 41. Justifier la convergence de cette integrale.Solution :On commence par noter que, x 7→ex2 est pair :ex2 = ex2.DoncZ +ex2dx = 2 ·Z +0ex2dx.Pour decrire la nature de cette derniere integrale, on commence par ecrireZ +0ex2dx =Z 10ex2dx +Z +1ex2dx.Maintenant, la fonction x 7→ex2 est continue et positive sur 0, +.En particulier elle est continue sur 0, 1. Par consequentZ 10ex2dxest finie.Integration & Probabilites
Page 18 : Exercice 4Finalemet, pour verifier la convergence ou divergence deR +1ex2dx,nous allons comparer x 7→ex2 avec la fonction x 7→1x2 en +. Nousavonsex21x2=x2ex2=⇒limx→+ex21x2=limx→+x2ex2= 0.Par consequentexpx2=V + o 1x2.MaintenantZ +11x2 dxconverge=⇒Z +1ex2dxconverge.Integration & Probabilites
Page 19 : Exercice 42. Nous avonsCa Ka Ca2.Maintenant, f est positive, doncZCaex2y2dxdy ZKaex2y2dxdy ZCa2ex2y2dxdy.3. En utilisant les coordonees polaires : x=r cos θy=r sin θ=⇒xrxθyryθ=cos θr sin θsin θr cos θ= r,nous pouvons ecrireZCaex2y2dxdy =Z a0Z 2π0er2r dθdr=Z 2π0dθ Z a0er2r dr=2π ·"er22a0=π1 ea2.Integration & Probabilites
Page 20 : Exercice 44. On fait d’abord remarquer que :Ka =x, y R2 : a x a, a y a.DoncZKaex2y2dxdy=Z aaZ aaex2ey2dxdy=Z aaex2dx Z aaey2dy=Z aaex2dx2.Ainsi, d’apres le point 2., nou avonsZCaex2y2dxdy Z aaex2dx2ZCa2ex2y2dxdy.Et du point 3., on conclutπ1 ea2Z aaex2dx2π1 e2a2Integration & Probabilites
Page 21 : Exercice 4Par consequentlima→+π1 ea2Z ex2dx2lima→+π1 e2a2D’ouZ ex2dx2= π.Ce qui impliqueZ ex2dx = π.Integration & Probabilites
Page 22 : Exercice 5SoitD = x, y R2 : x2 + y 2 2x 01. Montrer que D est un disque.2. CalculerZ ZDpx2 + y 2dxdy.Solution :1. Nous avonsx2 + y 2 2x = x 12 + y 2 1.Doncx2 + y 2 2x 0⇐⇒x 12 + y 2 1.Ainsi, D est le disque de centre 1, 0 et de rayon 1.Integration & Probabilites
Page 23 : Exercice 52. Si on utilise les coordonees polaires : x=r cos θy=r sin θ=⇒xrxθyryθ=cos θr sin θsin θr cos θ= r,l’equation du disque donne :r cosθ 12 + r sinθ2 1=⇒r 2 2r cosθ 0=⇒0 r 2 cosθ.Ainsi0 r 2 cosθetθ hπ2 , π2i,imperatif pour avoir cosθ 0.D’ouZ ZDpx2 + y 2dxdy=Zπ2π2Z 2 cosθ0r 2 rdrdθ=Zπ2π2Z 2 cosθ0r 2 drdθ=Zπ2π28 cos3 θ3dθ.Integration & Probabilites
Page 24 : Exercice 5Pour calculer cette derniere integrale, linearisons cos3θ. Pour cela on utilisel’identitecos3x = 4 cos3x 3 cosx.Identite qui nous permet d’ecrire :cos3x = 143 cosx + cos3x.Par consequentZ ZDpx2 + y 2dxdy=Zπ2π28 cos3 θ3dθ=Zπ2π2233 cosx + cos3x dθ=329 .Integration & Probabilites
Page 25 : Exercice 6CalculerR Rf x, ydxdy dans les cas suivants.a f x, y =x+y2x2+y2+1 et=nx, y R2 : x2 + y 2 1o.Solution : Pour calculer l’integrale, nous allons utiliser les coordonees polaires : x=r cos θy=r sin θ=⇒xrxθyryθ=cos θr sin θsin θr cos θ= r.AinsiZ Zx + y2x2 + y 2 + 1 dxdy=Z 10Z 2π0r 2cos θ + sin θ2r 2 cos2 θ + r 2 sin2 θ + 1 r · dθdr=Z 10Z 2π0r 3cos2 θ + 2 cos θ sin θ + sin2 θr 2 + 1dθdr=Z 10r 3r 2 + 1 dr·Z 2π01 + 2 cos θ sin θ dθ=Z 10r 3r 2 + 1 dr·Z 2π01 + sin2θ dθ.Integration & Probabilites
Page 26 : Exercice 6Par consequentZ Zx + y2x2 + y 2 + 1 dxdy=Z 10r 3r 2 + 1 dr·Z 2π01 + sin2θ dθ=Z 10rr 2 + 1 1r 2 + 1dr·θ cos2θ22π0=2π ·Z 10r rr 2 + 1 dr=2π · r 221012Z 101u + 1du!=π1 lnu + 110=π π · ln2.Integration & Probabilites
Page 27 : Exercice 6b f x, y = xy 2 et le disque delimite par le cercle d’equation :x2 + y 2 2Rx = 0,R 0.Solution : Nous avonsx2 + y 2 2Rx = x R2 + y 2 R2.D’ou, l’equation du cercle peut s’ecrire :x R2 + y 2 = R2.Posons x R=uy=v=⇒xuxvyuyv=1001= 1.AlorsZ Zxy 2 dxdy=Z Z′u + Rv 2 dudv,ou ′ est le disque delimite par le cercle d’equation :u2 + v 2 = R2.Integration & Probabilites
Page 28 : Exercice 6Ainsi, a l’aide des coordonees polairesu=r cos θv=r sin θ=⇒uruθvrvθ=cos θr sin θsin θr cos θ= rnous pouvons ecrireZ Zxy 2 dxdy=Z Z′u + Rv 2 dudv=Z R0Z 2π0R + r cos θ · r 2 sin2 θ · r dθdr.Notons que on aurait pu, depuis le debut, utiliser le changement devariable : x R=r cos θy=r sin θpour obtenir le mˆeme resultat.Integration & Probabilites
Page 29 : Exercice 6Maintenant, nous avonsZ Zxy 2 dxdy=Z R0Z 2π0R + r cos θ · r 2 sin2 θ · r dθdr=RZ R0r 3Z 2π0sin2 θ dθdr +Z R0r 4Z 2π0cos θ sin2 θ dθdr=R ·Z r0r 3 dr ·Z 2π0sin2 θ dθ +Z r0r 4dr ·Z 2π0cos θ sin2 θ dθ=R ·r 44R0·Z 2π01 cos2θ2dθ +r 55R0·Z 2π0cos θ sin2 θ dθ=R54 ·θ2 sin2θ42π0+ R55 ·Z 2π0cos θ sin2 θ dθ=πR54+ R55 ·Z 2π0cos θ sin2 θ dθIntegration & Probabilites
Page 30 : Exercice 6Finalement, si on posesin θ = w=⇒Zcos θ sin2 θ dθ =Zw 2dw = w 33= sin3 θ3.D’ou on obtientZ Zxy 2 dxdy=πR54+ R55 ·Z 2π0cos θ sin2 θ dθ=πR54+ R55 ·sin3 θ32π0=πR54 .Integration & Probabilites
Page 31 : Exercice 6c f x, y = x2 + y 2 et=x, y R2 : x2a2 + y 2b2 1.Solution : Posonsxa=uyb=v=⇒xuxvyuyv=a00b= a · b.AlorsZ Zx2 + y 2 dxdy=Z Z′a2 · u2 + b2 · v 2a · b dudv,ou ′ est le disque delimite par le cercle d’equation :u2 + v 2 = 1.Integration & Probabilites
Page 32 : Exercice 6Ainsi, a l’aide des coordonees polaires u=r cos θv=r sin θ=⇒uruθvrvθ=cos θr sin θsin θr cos θ= rnous pouvons ecrireZ Zx2 + y 2 dxdy=Z Z′ a2 · u2 + b2 · v 2 a · b dudv=Z 10Z 2π0a2 · r 2 cos2 θ + b2 · r 2 sin2 θa · b · r dθdr.Notons que on aurait pu, depuis le debut, utiliser les coordonees elliptiques : x=a · r cos θy=b · r sin θ=⇒xrxθyryθ=a · cos θa · r sin θb · sin θb · r cos θ= a · b · r.pour obtenir le mˆeme resultat.Integration & Probabilites
Page 33 : Exercice 6Maintenant, nous avonsZ Zx2 + y 2 dxdy=Z 10Z 2π0a2 · r 2 cos2 θ + b2 · r 2 sin2 θa · b · r dθdr=a · bZ 10r 3dr ·Z 2π0a2 cos2 θ + b2 sin2 θ dθ=a · b4·Z 2π0a2 cos2 θ dθ +Z 2π0b2 sin2 θ dθ=a · b4·a2Z 2π01 + cos2θ2dθ + b2Z 2π01 cos2θ2dθ=a · b4· a2θ2 + sin2θ42π0+ b2θ2 sin2θ42π0!=a · b4·a2π + b2π= abπ4· a2 + b2.Integration & Probabilites
Page 34 : Exercice 7a CalculerZxy dxdyou est la partie du plan limitee par :y = x2etx = y 2.Solution : La region limitee par :y = x2etx = y 2est=nx, y R2 : 0 x 1, x2 y xoAinsiZxy dxdy =Z 10Z xx2xy dxdy=Z 10xy 22xx2dx=Z 10x22 x52 dx=x3610 x61210= 16 112 =112.Integration & Probabilites
Page 35 : Exercice 7b Calculer l’aire de la surface limitee par l’ellipse :x2a2 + y 2b2 = 1,aveca 1, b 1.Solution : La region limitee par l’ellipse est=x, y R2 : x2a2 + y 2b2 1.AinsiAire limitee par l’ellipse=Z Z1 dxdyPour calculer cette derniere integrale, utilisons les coordonees elliptiques : x=a · r cos θy=b · r sin θ=⇒xrxθyryθ=a · cos θa · r sin θb · sin θb · r cos θ=a · b · r.Integration & Probabilites
Page 36 : Exercice 7D’ouAire =Z Z1 dxdy=Z 10Z 2π0a · b · r drdθ=a · bZ 10r dr ·Z 2π0dθ=a · br 2210·θ2π0=a · b · π.Integration & Probabilites
Page 37 : Exercice 7c Calculer le volume limite par l’ellipso¨ıde defini par :x2a2 + y 2b2 + z2c2 = 1,aveca 1, b 1, c 1.Solution : La region limitee par l’ellipso¨ıde est=x, y, z R3 : x2a2 + y 2b2 + z2c2 1.AinsiVolume limite par l’ellipso¨ıde=Z Z Z1 dxdydzPour calculer cette derniere integrale, on commence par le changementde variablexa=uyb=vzc=w=⇒xuxvxwyuyvywzuzvzw=a000b000c= a · b · c.Integration & Probabilites
Page 38 : Exercice 7D’ouZ Z Z1 dxdydz =Z Z Za · b · c dudvdw,avec=nu, v, w R3 : u2 + v 2 + w 2 1o.Pour calculer cette derniere integrale utilisons les coordonees spheriques :u=r sin ϕ cos θv=r sin ϕ sin θw=r cos ϕ.avec0r1πθπ0ϕπOu on rappelle que le Jacobien est donne parDu, v, wDr, θ, ϕ = r 2 sin ϕ 0car ϕ 0, π.Integration & Probabilites
Page 39 : Exercice 7D’ouVolume =Z Z Za · b · c dudvdw=Z 10Z ππZ π0a · b · c · r 2 sin ϕ dϕdθdr=a · b · cZ 10r 2 dr ·Z ππdθ ·Z π0sin ϕ dϕ=a · b · c ·r 3310·θππ ·cos ϕπ0=a · b · c · 4π3 .Integration & Probabilites
Page 40 : Exercice 7d Calculer le volume du secteur spherique, limite par la sphere de centre O et derayon R et le demi-cˆone superieur de sommet O et d’angle 2α 0 α π2 .Solution : Rappelons que le cˆone de sommet O et d’angle 2α, est donne parl’ensemble des points :nx, y, z R3 : x2 + y2 = z2 tan2αo.D’ou on deduit que le demi-cˆone superieur de sommet O et d’angle 2α, est donne parl’ensemble des points :nx, y, z R3 : x2 + y2 = z2 tan2α, z 0o.Maintenat, si on utilise les coordonees spheriques :x=r sin ϕ cos θy=r sin ϕ sin θz=r cos ϕ.avec0rπθπ0ϕπl’equation du demi-cˆone superieur de sommet O et d’angle 2α donne :r2 sin2ϕcos2θ + sin2θ = r2 cos2θ tan2α=⇒r2 sin2ϕ = r2 cos2ϕ tan2α=⇒tan2ϕ = tan2α=⇒ϕ = α.Integration & Probabilites
Page 41 : Exercice 7Ainsi, le demi-cˆone superieur a pour equation spherique :r 0;π θ π;ϕ = α.Par consequent, en coordonees spheriques, la zone delimite par le demi-cˆonesuperieur de sommet O et d’angle 2αest :r 0;π θ π;0 ϕ α.Maintenant, la sphere d’equation cartesienne :x2 + y 2 + z2 = R2,a pour equation spherique :r = R;π θ π;0 ϕ π.Ainsi, la region limite par la sphere de centre O et de rayon R est0 r R;π θ π;0 ϕ π.Par consequent, la region limite par la sphere de centre O et de rayon R et ledemi-cˆone superieur de sommet O et d’angle 2α est donnee en coordoneesspheriques par := 0 r R;π θ π;0 ϕ αIntegration & Probabilites
Page 42 : Exercice 7D’ouVolume =Z Z Zdxdydz=Z R0Z ππZ α0r 2 cosϕdϕdθdr= Z R0r 2dr! Z ππdϕ Z α0sin ϕ dϕ=2πR331 cosα.Integration & Probabilites
Page 43 : Exercice 8CalculerZΩf x, y, z dxdydzdans le cas suivants :a f x, y, z =1x+y+z+13 etΩ=x, y, z R3 : x 0, y 0, z 0, x + y + z 1.Solution : Nous avonsΩ=x, y, z R3 : x 0, y 0, z 0, x + y + z 1=x, y, z R3 : x 0,y 0,0 z 1 x yetx + y 1=x, y, z R3 : 0 x 1, 0 y 1 x,0 z 1 x y.AinsiZΩf x, y, z dxdydz=Z 10Z 1x0Z 1xy01x + y + z + 13 dzdydx=Z 10Z 1x012x + y + z + 121xy0dydx=12Z 10Z 1x01x + y + 12 14 dydxIntegration & Probabilites
Page 44 : Exercice 8D’ouZΩf x, y, z dxdydz=12Z 10Z 1x01x + y + 12 14dydx=12Z 101x + y + 1 y41x0dx=12Z 101x + 1 12 1 x4dx=12lnx + 1 x2 + 1 x2810=12ln2 12 18=ln22516Integration & Probabilites
Page 45 : Exercice 8b f x, y, z =1x2+y2+z2 etΩ=nx, y, z R3 : x2 + y 2 + z2 R2o.Solution : Utilisons les coordonees spheriques :x=r sin ϕ cos θy=r sin ϕ sin θz=r cos ϕ.avec0rRπθπ0ϕπOu on rappelle que le Jacobien est donne parDx, y, zDr, θ, ϕ = r 2 sin ϕ 0car ϕ 0, π.AinsiZΩ1x2 + y 2 + z2 dxdydz=Z R0Z ππZ π01r 2 · r 2 sin ϕ dϕdθdr=Z R0Z ππZ π0sin ϕ dϕdθdr=rR0 ·θππ ·cos ϕπ0=4πR.Integration & Probabilites
Page 46 : Exercice 8c f x, y, z = x2y etΩ=x, y, z R3 : 0 y 1 x2, x + y + z 1.Solution : Nous avonsx + y + z 1⇐⇒1 x + y + z 1Le domaine Ωest donc limite par les deux plans d’equations :x + y + z = 1;x + y + z = 1.Sa projection sur les plan xOy est le domaine :Ω1 =x, y R2 : 1 x 1, 0 y 1 x2.AinsiZΩx2y dxdydz=Z ZΩ1Z 1xy1xyx2y dzdydx=Z 11Z 1x20Z 1xy1xyx2y dzdydx=Z 11Z 1x20x2yz1xy1xy dydx=Z 11Z 1x20x2y · 1 x y 1 x y dydx.Integration & Probabilites
Page 47 : Exercice 8D’ouZΩx2y dxdydz=Z 11Z 1x20x2y · 1 x y 1 x y dydx=Z 11Z 1x202 · x2y dydx=Z 112 · x2y221x20dx=Z 11x21 x22 dx=Z 11x2 2x4 + x6 dx=2 · 13 25 + 17=16105 .Integration & Probabilites
Page 48 : Exercice 9CalculerZ Z ZDxyz dxdydz.ou D est le domaine limite par les plans d’equationx = 0;y = 0;z = 0et la sphere de centre O et de rayon 1, dont les points ont des coordonnees positives.Solution : Nous avonsD =x, y, z R3 : x 0, y 0, z 0 et x2 + y2 + z2 1Maintenant, la projection sur les plan xOy du domaine D est le domaine situe dans lequart de plan :x 0;y 0,limite par les axeset le cercle d’equationx2 + y2 = 1.Par consequentD=x, y, z R3 : x 0, y 0, z 0 et x2 + y2 + z2 1=nx, y, z R3 : 0 x, 0 y, x2 + y2 1 et 0 z p1 x2 y2o=nx, y, z R3 : 0 x 1, 0 y p1 x2, 0 z p1 x2 y2oIntegration & Probabilites
Page 49 : Exercice 9AinsiZ Z ZDxyz dxdydz=Z 10Z 1x20Z 1x2y20xyz dzdydx=Z 10Z 1x20xyz221x2y20dydx=Z 10Z 1x20xy1 x2 y 22dydx=Z 10x2Z 1x201 x2y y 3dydx=Z 10x21 x2y 22 y 441x20dx=Z 10x21 x2221 x224dx=Z 10x1 x228dx.Integration & Probabilites
Page 50 : Exercice 9D’ouZ Z ZDxyz dxdydz=Z 10x1 x228dx=1 x234810=148.Integration & Probabilites
Page 51 : Exercice 10Calculer le volume limite par la sphere de centre O et de rayon 1 et le cylindred’equationx2 + y2 x = 0.Solution : Parametrons la region a l’aide de coordonnees cylindriques :x=r cos θy=r sin θz=z.avec0rπθπz Ou on rappelle que le Jacobien est donne parDx, y, zDr, θ, z = r 0.Notons que la sphere d’equation cartesienne :x2 + y2 + z2 = 1a pour equation cylindrique :r2 + z2 = 1.Ainsi, en coordonnees cylindriques, la region limite par la sphere de centre O et derayon 1 est0 r 1;π θ π;p1 r2 z p1 r2.Integration & Probabilites
Page 52 : Exercice 10De plus le cylindre d’equation cartesiennex2 + y2 x = 0,z R⇐⇒x 122+ y2 = 14 ,z Ra pour equation cylindrique :r2 r cosθ = 0=⇒r = cosθ.Ainsi, en coordonnees cylindriques, la region limite par le le cylindre d’equationx2 + y2 x = 0 est :0 r cosθ;π2 θ π2 ,imperatif pour avoir cosθ 0;z R.Par consequent, en coordonnees cylindriques, la region limite par la sphere de centreO et de rayon 1 et le cylindre d’equation x2 + y2 x = 0 est :=nπ2 θ π2;0 r cosθ;p1 r2 z p1 r2oD’ouVolume =Z Z Zdxdydz=Zπ2π2Z cosθ0Z 1r21r2 r dzdrdθ.Integration & Probabilites
Page 53 : Exercice 10DoncVolume =Z Z Zdxdydz=Zπ2π2Z cosθ0Z 1r21r2 r dzdrdθ=Zπ2π2Z cosθ0rz1r21r2drdθ.=Zπ2π2Z cosθ02r ·p1 r2drdθ=Zπ2π223 1 r232cosθ0dθ=23Zπ2π21 1 cos2θ32dθ=23Zπ2π21 sin2θ32dθ=23Zπ2π21 sin3θ dθ=2π3 43Zπ20sin3θdθ.Integration & Probabilites
Page 54 : Exercice 10MaintenantZπ20sin3θdθ=Zπ20sinθ1 cos2θdθ=Zπ20sinθ cos2θ sinθdθ=cosθ π20 cos3θ3 π20=1 13 = 23 .DoncVolume = 2π3 89 .Integration & Probabilites
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