TD3 Espaces Vectoriels
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Page 1 : Cycle Pre-INGPremiere AnneeAgebre II - 2021/2022TD : Espaces vectoriels, Sous-espacesvectoriels,Familles libres, liees et generatrices,Bases et dimensions, Somme d’espaces vectoriels1Espaces vectoriels,Exercice 1Dans chacun des cas suivants, determiner si l’ensemble E muni de l’ad-dition et de la multiplication externe est un espace vectoriel surR.1.E = R2u = x, y E, v = x′, y′ E,u v = x + x′, y + y′λ R, u = x, y E,λ u = λx, 02.E = R+x E, y E,x y = xyλ R, x E,λ x = xλ3.E = Rnn 1u = x1; . . . ; xn E, v = y1; . . . ; yn E,u v = x1 + y1; . . . ; xn + ynλ R, u x1; . . . ; xn E,λ u = λx1; . . . ; λxn4.E = R2u = x, y E, v = x′, y′ E,u v = x + x′, y + y′λ R, u = x, y E,λ u = λx, y5.E = R2u = x, y E, v = x′, y′ E,u v = x + x′, y + y′λ R, u = x, y E,λ u = λx, λy
Page 2 : 6.E = R2u = x, y E, v = x′, y′ E,u v = x + x′, y + y′λ R, u = x, y E,λ u = λ2x, λ2y7.E = RXest l’addition usuelle des polynˆomes.est la multiplication usuelle d’un polynˆome par un reel.Exercice 2Soit E un R-espace vectoriel. On munit le produit cartesien E × E del’addition usuelle :x, y + x′, y′ = x + x′, y + y′et de la multiplication externe par un nombre complexe definie par :a + ib · x, y = ax by, ay + bx.Montrer que E × E est alors un C-espace vectoriel. Celui-ci s’appellecomplexifie de E.2Sous-espaces vectorielsExercice 3Parmi les sous-ensembles suivants de R2, identifier ceux qui sont stablespar l’addition, par la multiplication externe et ceux qui sont des sous-espaces vectoriels de R2.1. Z2.2. A = x, y R2; x = y.3. B = x, y R2; x = y.4. C = x, y R2; x + 2y = 1.Exercice 4Pour chacun des ensembles suivants, determiner s’ils sont des sous-espaces vectoriels. Preciser a chaque fois l’espace vectoriel dont ilssont sous-espace1. E1 =x, y, z R3 ; x + 3y + z = 02. E2 =x, y, z R3 ; 2x + y + z = 23. E3 =x, y, z, t R4 ; x = 3y = 2z = 4t4. E4 =x, y R2 ; xy = 05. E5 =x, y R2 ; y = x2
Page 3 : 6. E6 =x, y R2 ; x2 + y2 + 4 = 07. E7 =x, y, z R3 ; x 7y = z8. E8 =x, y, z R3 ; x2 y2 = 09. E9 =x, y, z R3 ; x + y z = x + y + z = 010. E10 =x, y, z R3 ; zx2 + y2 = 011. E11 = x, y, z R3 ; x + y z = 0.12. E12 = x, y, z R3 ; x + y + a = 0 et x + 3az = 0, a R.13. E13 = f FR, R ; f1 = 0.14. E14 = f FR, R ; f0 = 1.15. E15 = P RX ; P ′ = 2.16. E16 = P RX ; PX = XP ′X + P0.Exercice 5Soit dans R4 les vecteurs u = 1, 1, 1, 0 et v = 0, 0, 1, 1. Trouverdes conditions necessaires et suffisantes sur les reels x, y, z, t pour quex, y, z, t V ectu, v.Exercice 6Soit F =x, y, z R3 , x + y z = 0et G =a b, a + b, a 3b , a, b R2.1. Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de R3.2. Determiner F G.Exercice 7Soit E, , un R-espace vectoriel, F un sous-espace vectoriel de E,et A et B deux sous-ensembles de E.1. Montrer que si A B, alors V ectA V ectB.2. Montrer que A est un sous-espace vectoriel de E si et seulementsi V ectA = A.3. Montrer que si A B F et A engendre F, alors B engendreF.2.1Familles libres, liees et generatricesExercice 81. Ecrire si possible le vecteur v comme combinaison lineaire desvecteurs ak, k = 1, 2 ou 3 avecv = 1, 2, 5, a1 = 1, 1, 1, a2 = 2, 1, 1, a3 = 1, 2, 3v = 2, 5, 3, a1 = 1, 3, 2, a2 = 2, 4, 1, a3 = 1, 5, 72. Pour quelle valeur de k le vecteur u = 1, 2, k est-il combinaisonlineaire de v = 3, 0, 2 et w = 2, 1, 5.
Page 4 : Exercice 91. Les familles suivantes de R4 sont-elles libres ou liees ? Fournir lesrelations de dependance lineaire quand ces relations existente1 = 3, 0, 1, 2, e2 = 1, 5, 0, 1, e3 = 7, 5, 2, 1e1 = 1, 1, 1, 1, e2 = 1, 1, 1, 1, e3 = 1, 1, 1, 1, e4 = 1, 1, 1, 1e1 = 0, 0, 1, 0, e2 = 0, 0, 0, 1, e3 = 1, 0, 0, 0, e4 = 0, 1, 0, 0e1 = 2, 1, 3, 1, e2 = 1, 1, 1, 1, e3 = 4, 1, 5, 3, e4 = 1, 2, 2, 02. On considere dans R4 les vecteurs v1, v2, v3, v4, v5 , v1 = 1, 2, 3, 4, v2 =1, 1, 1, 3, v3 = 2, 1, 1, 1, v4 = 1, 0, 1, 2, v5 = 2, 3, 0, 1 Lafamille est-elle libre ? Est-elle liee si oui donner les liaisons desvecteurs.Exercice 101.a Soit A la famille de R4 definie parA = u1, u2, u3, u4u1 = 1, 1, 1, 1, u2 = 1, 1, 1, 1, u3 = 1, 1, 1, 1, u4 =1, 1, 1, 1. Montrer que A est une base de R4. Exprimerle vecteur u = 1, 2, 1, 1 dans cette base.b Mˆemes questions avecA = u1 = 1, 1, 0, 1, u2 = 2, 1, 3, 1, u3 = 1, 1, 0, 0, u4 = 0, 1, 1, 1et u = 0, 0, 0, 1.2. On considere les familles de vecteurs de Rn ou Cn avec n = 3 ou4.A = a = 2, 3, 4, b = 1, 5, 7, c = 3, 1, 1,B = a = 1, 1, z, b = 1, z, 1, c = 2, 1, 1, z CC = a = 1, 2, 1, 0, b = 4, 5, 0, 1, c = 2, 1, 2, 1,D = a = 4, 3, 3, 6, b = 1, 1, 1, 2, c = 4, 2, 10, mE = a, b, c, da = 1, 2, 1, 2, b = 2, 3, 0, 1, c = 1, 3, 1, 0, d = 1, 2, 1, mou m N. Indiquer eventuellement en fonction de m lesquellesde ces familles sont libres, liees on donnera les liaisons des vec-teurs, generatrices, bases.3SOUS-ESPACES ENGENDRES, BASESExercice 11On considere dans R4 les vecteurs u1 = 2, 3, 1, 0, u2 = 3, 1, 0, 2, u3 =4, 5, 1, 4, u4 = 9, 8, 3, 2. Montrer que les sous-espaces engendres
Page 5 : par les familles de vecteurs u1, u2 , u3, u4 sont identiques. Determinerleur dimension. Completer la famille u1, u2 pour obtenir une base deR4.Exercice 121. Sachant que la famille A = u1, u2, u3, u4, u5 engendre R3,trouverune base de R3 contenue dans A aveca u1 = 2, 6, 3, u2 = 5, 15, 8, u3 = 3, 9, 5, u4 = 1, 3, 2, u5 =5, 3, 2b u1 = 1, 0, 2, u2 = 0, 1, 1, u3 = 2, 1, 5, u4 = 1, 1, 3, u5 =1, 2, 12. De mˆeme pour A = u1, u2, . . . , u6, avec u1 = 1, 1, 0, u2 =2, 2, 0, u3 = 2, 4, 1, u4 = 5, 9, 2, u5 = 7, 13, 3, u6 = 1, 2, 13. Determiner le sous-espace vectoriel engendre par A = u1, u2, u3, u4,note ⟨A ⟩, aveca u1 = 1, 2, 1, 0, u2 = 3, 4, 5, 6, u3 = 2, 1, 3, 3, u42, 6, 4, 6b u1 = , 0, 1, 2, 1, u2 = 0, 1, 2, 1, 3, u3 = 2, 1, 0, 5, 1, u4 =1, 1, 3, 1, 4Exercice 131. Soit E =x, y, z R3, 2x + y z = aavec a R. Donner unecondition necessaire et suffisante pour que E soit un sous-espacevectoriel de R3.2. Dans l’espace vectoriel R3 sur R, le sous ensemble U est-il unsous-espace vectoriel avecU =u = x, y, z R3, u = x, x, x, x R,U =u = x, y, z R3, x 2y + z = 0U =u = x, y, z R3, x y + z = 2,U =u = x, y, z R3, u = x, y, 0U =u = x, y, z R3, x 0,U =u = x, y, z R3, x2 + y2 + z2 = 0U =u = x, y, z R3, x2 y2 + z2 = 0,U =u = x, y, z R3, x, y, z Q3. Soient U et V deux sous-espaces de R3 definis parU =x, y, z R3, x = y = zetV =0, y, z R3, y, z R.Montrer que U V = R3Exercice 14
Page 6 : 1. Soient les sous-espaces vectoriels de R3 definis parE =x, y, z R3, x + 2y 4z = 0etF =x, y, z R3, y 2z = 0.Donner une base de E, F et de E F.2. On considere les sous-espaces vectoriels de R4 definis par E =x, y, z, t R4, y + z + t = 0, F =x, y, z, t R4, x + y = 0, z = 2t.Donner une base de E, F et de E F.3. Soit E un espace vectoriel sur R de dimension 5 dont une base esta1, a2, a3, a4, a5 . Si a E on note x, y, z, t, s les composantesd’un vecteur a E. On considere P le sous-ensemble de E definipar P = a E, x + 4z = 0, 2x + s = 0, y + z + t = 0. Montrerque P est un sous-espace vectoriel de E. Determiner une base deP et completer cette base pour obtenir une base de E.4BASES. THEOREME DE REDUCTION.THEOREME DE LA BASE INCOMPLETEExercice 15Completer la famille B par des vecteurs de A pour en faire une baseA = 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, B = 1, 0, 2, 3, 0, 1, 2, 3A = 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 5, 1, 11, 0, 4, 0, 6, 1, B = 1, 0, 1, 0, 0, 2, 0, 3Exercice 162 Montrer que A est une base de R3A = 1, 2, 3, 0, 1, 2, 1, 1, 2, A = 2, 1, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 0Exercice 17Quels sont les sous ensembles de R3 qui sont lineairement independantset qui engendrent R3A = 1, 3, 1, 1, 3, 0, B = 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1C = 1, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, D = 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1Exercice 18En utilisant les operations elementaires sur les vecteurs donner une baseet la dimension de ⟨A⟩A = 1, 0, 1, 1, 3, 2, 3, 5, 2, 1, 2, 2, 5, 2, 5, 3,A = 1, 0, 1, 2, 1, 0, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 0, 5, 1, 1, 1, 3, 1, 4A = 1, 2, 0, 1, 0, 2, 4, 1, 4, 3, 1, 2, 2, 5, 2, 1, 2, 3, 5, 4
Page 7 : Exercice 19On considere u1 = 1, 2, 1, 0, u2 = 1, 1, 1, 1, u3 = 1, 0, 1, 0, u4 =0, 1, 1, 1, u5 = 2, 1, 1, 1 des vecteurs de R4.1. Justifier sans calcul que la famille A1 = u1, u2, u3, u4, u5 est unefamille liee et la famille A2 = u1, u2, u4 n’est pas une famillegeneratrice de R4.2. Extraire une famille A libre de A1.3. Deduire que A est une base de R4.4. Determiner les coordonnees du vecteur x, y, z, t de R4 dans labase A.Exercice 20On considereφ:R3X→R2XP7→1 XP ′′X1. Montrer que φ est lineaire.2. Determiner φPi, avec Bc = Pi, i = 0, . . . , 3 est la base cano-nique de R3X.3. Determiner une base du noyau de φ. Deduire dim ker φ.4. Determiner une base de Imφ. Deduire rgφ.5. Expliquer pourquoi on n’a pas R3X = ker φ Imφ.Exercice 21On considere P1 = 1 X, P2 = 1 X2, P3 = X3 X2 + X, P4 =X3 + X + 1, P5 = X3 des polynˆomes de R3X.1. La famille P1, P2, P3, P4, P5 est-elle libre ?2. Montrer que B = P1, P2, P3, P4 est une base de R3X.3. Determiner les coordonnees du polynomes a0+a1X+a2X2+a3X3de R3X dans la base A.4. Determiner les coordonnees de P5 dans la base A.Exercice 22On consideref:R4→R3x, y, z, t7→x z, y + t, z x y t1. Montrer que f est lineaire.2. Determiner une base B1 du noyau de f. Deduire dim ker f.3. Determiner une base de Imf. L’application f est-elle surjective.4. Soit A = x, y, z, t R4 x + y + z = x t = 0, determinerune base B2 de A.
Page 8 : 5. Montrer que B = B1, B2 est une base de R4. Que peut-ondeduire ?Exercice 23Soient les sous-espaces vectoriels de R3 :F = x, y, z R3 x + y + z = 0 et G = x, y, z R3 x = y.1. Trouver une famille de vecteurs qui engendre F, puis une famillede vecteurs qui engendre G, puis F G.2. Les sous-espaces vectoriels F et G sont-ils supplementaires ?Exercice 24Soient E = R3, G = vect1, 1, 0 et F = x, y, z R3 2xyz =0.1. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E.2. Montrer que F G = E.Exercice 25Prouver que les espaces P = f : R →R paire et I = f : R →R impaire sont supplementaires dans FR; R l’espace des fonctionsde R dans R.
