TD3 Espaces Vectoriels
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Page 1 : Cycle Pre-ingenieurPremiere AnneeAgebre II - 2023/2024TD3 : Espaces vectoriels1. ESPACES VECTORIELSExercice 1Dans chacun des cas suivants, determiner si l’ensemble E muni de l’addition et de la multiplicationexterne est un espace vectoriel sur R.1. E = R2u = x, y E; v = x0, y0 E; u v = x + x0, y + y0λ R; u = x, y E; λ u = λx, 02. E = R3x, y E; x y = xyλ R; x E; λ x = xλ3. E = Rn, n 1u = x1, . . . , xn E; v = y1, . . . , yn E; u v = x1 + y1, . . . , xn + ynλ R; u = x1, . . . , xn E; λ u = λx1, . . . , λxn4. E = R2u = x, y E; v = x0, y0 E; u v = x + x0, y + y0λ R; u = x, y E; λ u = λx, y5. E = R2u = x, y E; v = x0, y0 E; u v = x + x0, y + y0λ R; u = x, y E; λ u = λx, λy6. E = R2u = x, y E; v = x0, y0 E; u v = x + x0, y + y0λ R; u = x, y E; λ u = λ2x, λ2y7. E = RXAddition usuelle :+Multiplication par un reel :·1
Page 2 : Exercice 2Soit E un R-espace vectoriel. On munit le produit cartesien E × E de l’addition usuelle :x, y + x′, y′ = x + x′, y + y′et de la multiplication externe par un nombre complexe definie par :a + ib · x, y = ax by, ay + bxMontrer que E × E est alors un C-espace vectoriel. Celui-ci s’appelle complexifie de E.2. SOUS-ESPACES VECTORIELSExercice 3Parmi les sous-ensembles suivants de R2, identifier ceux qui sont stables par l’addition, par lamultiplication externe et ceux qui sont des sous-espaces vectoriels de R2.1. Z2.2. A = x, y R2 x = y.3. B = x, y R2 x = y.4. C = x, y R2 x + 2y = 1.Exercice 4Pour chacun des ensembles suivants, determiner s’ils sont des sous-espaces vectoriels. Preciser achaque fois l’espace vectoriel dont ils sont sous-espace1. E1 = x, y, z R3 x + 3y + z = 0.2. E2 = x, y, z R3 2x + y + z = 2.3. E3 = x, y, z, t R4 x = 3y = 2z = 4t.4. E4 = x, y R2 xy = 0.5. E5 = x, y R2 y = x2.6. E6 = x, y R2 x2 + y2 + 4 = 0.7. E7 = x, y, z R3 x 7y = z.8. E8 = x, y, z R3 x2 y2 = 0.9. E9 = x, y, z R3 x + y z = x + y + z = 0.10. E10 = x, y, z R3 zx2 + y2 = 0.11. E11 = fx, y, z R3 x + y z = 0.12. E12 = fx, y, z R3 x + y + a = 0 et x + 3az = 0,a R.13. E13 = f FR, R f1 = 0.14. E14 = f FR, R f0 = 1.15. E15 = P RX P ′ = 2.16. E16 = P RX PX = XP ′X + P0.2
Page 3 : Exercice 5Soit dans R4 les vecteurs u = 1, 1, 1, 0 et v = 0, 0, 1, 1. Trouver des conditions necessaires etsuffisantes sur les reels x, y, z, t pour que x, y, z, t Vectu, v.Exercice 6Soit F = x, y, z R3 x + y z = 0 et G = a b, a + b, a 3b a, b R2.1. Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de R3.2. Determiner F G.Exercice 7Soit E, , un R-espace vectoriel, F un sous-espace vectoriel de E, et A et B deux sous-ensemblesde E.1. Montrer que si A B, alors VectA VectB.2. Montrer que A est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si VectA = A.3. Montrer que si A B F et A engendre F, alors B engendre F.2.1 Familles libres, liees et generatricesExercice 81. Ecrire si possible le vecteur v comme combinaison lineaire des vecteurs ak, k = 1, 2 ou 3avec :v = 1, 2, 5,a1 = 1, 1, 1,a2 = 2, 1, 1,a3 = 1, 2, 3v = 2, 5, 3,a1 = 1, 3, 2,a2 = 2, 4, 1,a3 = 1, 5, 72. Pour quelle valeur de k le vecteur u = 1, 2, k est-il combinaison lineaire de v = 3, 0, 2et w = 2, 1, 5 ?Exercice 91. Les familles suivantes de R4 sont-elles libres ou liees ? Fournir les relations de dependancelineaire quand ces relations existent :a. fe1 = 3, 0, 1, 2; e2 = 1, 5, 0, 1; e3 = 7, 5, 2, 1b. fe1 = 1, 1, 1, 1; e2 = 1, 1, 1, 1; e3 = 1, 1, 1, 1; e4 = 1, 1, 1, 1c. fe1 = 0, 0, 1, 0; e2 = 0, 0, 0, 1; e3 = 1, 0, 0, 0; e4 = 0, 1, 0, 0d. fe1 = 2, 1, 3, 1; e2 = 1, 1, 1, 1; e3 = 4, 1, 5, 3; e4 = 1, 2, 2, 02. On considere dans R4 les vecteurs v1, v2, v3, v4, v5, v1 = 1, 2, 3, 4, v2 = 1, 1, 1, 3, v3 =2, 1, 1, 1, v4 = 1, 0, 1, 2, v5 = 2, 3, 0, 1. La famille est-elle libre ? Est-elle liee, et si oui,donner les liaisons des vecteurs.3
Page 4 : Exercice 101. a Soit A la famille de R4 definie par :A = u1, u2, u3, u4,u1 = 1, 1, 1, 1,u2 = 1, 1, 1, 1,u3 = 1, 1, 1, 1,u4 = 1, 1, 1, 1Montrer que A est une base de R4. Exprimer le vecteur u = 1, 2, 1, 1 dans cette base.b Mˆemes questions avec :A = u1 = 1, 1, 0, 1,u2 = 2, 1, 3, 1,u3 = 1, 1, 0, 0,u4 = 0, 1, 1, 1et u = 0, 0, 0, 1.2. On considere les familles de vecteurs de Rn ou Cn avec n = 3 ou 4.A = a = 2, 3, 4, b = 1, 5, 7, c = 3, 1, 1B = a = 1, 1, z, b = 1, z, 1, c = 2, 1, 1,z CC = a = 1, 2, 1, 0, b = 4, 5, 0, 1, c = 2, 1, 2, 1D = a = 4, 3, 3, 6, b = 1, 1, 1, 2, c = 4, 2, 10, mE = a, b, c, d,a = 1, 2, 1, 2,b = 2, 3, 0, 1,c = 1, 3, 1, 0,d = 1, 2, 1, m,m NIndiquer eventuellement en fonction de m lesquelles de ces familles sont libres, liees ondonnera les liaisons des vecteurs, generatrices, bases.3 SOUS-ESPACES ENGENDRES, BASESExercice 11On considere dans R4 les vecteurs u1 = 2, 3, 1, 0, u2 = 3, 1, 0, 2, u3 = 4, 5, 1, 4, u4 =9, 8, 3, 2. Montrer que les sous-espaces engendres par les familles de vecteurs u1, u2 et u3, u4sont identiques. Determiner leur dimension. Completer la famille u1, u2 pour obtenir une base deR4.Exercice 121. Sachant que la famille A = u1, u2, u3, u4, u5 engendre R3, trouver une base de R3 contenuedans A avec :a u1 = 2, 6, 3, u2 = 5, 15, 8, u3 = 3, 9, 5, u4 = 1, 3, 2, u5 = 5, 3, 2b u1 = 1, 0, 2, u2 = 0, 1, 1, u3 = 2, 1, 5, u4 = 1, 1, 3, u5 = 1, 2, 12. De mˆeme pour A = u1, u2, . . . , u6, avec u1 = 1, 1, 0, u2 = 2, 2, 0, u3 = 2, 4, 1, u4 =5, 9, 2, u5 = 7, 13, 3, u6 = 1, 2, 13. Determiner le sous-espace vectoriel engendre par A = u1, u2, u3, u4, note ⟨A⟩, avec :u1 = 1, 2, 1, 0, u2 = 3, 4, 5, 6, u3 = 2, 1, 3, 3, u4 = 2, 6, 4, 64
Page 5 : Exercice 131. Soit E = x, y, z R3 2x + y z = a. Donner une condition necessaire et suffisantepour que E soit un sous-espace vectoriel de R3.2. Dans l’espace vectoriel R3 sur R, le sous-ensemble U est-il un sous-espace vectoriel avec :U = u = x, y, z R3 u = x, x, x, x RU = u = x, y, z R3 x 2y + z = 0U = u = x, y, z R3 x y + z = 2U = u = x, y, z R3 u = x, y, 0U = u = x, y, z R3 x 0U = u = x, y, z R3 x2 + y2 + z2 = 0U = u = x, y, z R3 x2 y2 + z2 = 0U = u = x, y, z R3 x, y, z Q3. Soient U et V deux sous-espaces de R3 definis par :U = x, y, z R3 x = y = zV = 0, y, z R3 y, z RMontrer que U V = R3.Exercice 141. Soient les sous-espaces vectoriels de R3 definis par :E = x, y, z R3 x + 2y 4z = 0F = x, y, z R3 y 2z = 0Donner une base de E, F, et de E F.2. On considere les sous-espaces vectoriels de R4 definis par :E = x, y, z, t R4 y + z + t = 0F = x, y, z, t R4 x + y = 0, z = 2tDonner une base de E, F, et de E F.3. Soit E un espace vectoriel sur R de dimension 5 dont une base est a1, a2, a3, a4, a5. Si a E,notons x, y, z, t, s les composantes d’un vecteur a E. On considere P le sous-ensemble deE defini par P = a E x + 4z = 0, 2x + s = 0, y + z + t = 0. Montrer que P est unsous-espace vectoriel de E. Determiner une base de P et completer cette base pour obtenirune base de E.5
Page 6 : 4. BASES. THEOREME DE REDUCTION. THEOREME DE LABASE INCOMPLETEExercice 15Completer la famille B par des vecteurs de A pour en faire une base :1.A = 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1B = 1, 0, 2, 3, 0, 1, 2, 32.A = 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 5, 1, 11, 0, 4, 0, 6, 1B = 1, 0, 1, 0, 0, 2, 0, 3Exercice 16Montrer que A est une base de R3A = 1, 2, 3, 0, 1, 2, 1, 1, 2A = 2, 1, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 0Exercice 17Quels sont les sous-ensembles de R3 qui sont lineairement independants et qui engendrent R3 ?A = 1, 3, 1, 1, 3, 0B = 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1C = 1, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3D = 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1Exercice 18En utilisant les operations elementaires sur les vecteurs donner une base et la dimension de ⟨A⟩.A = 1, 0, 1, 1, 3, 2, 3, 5, 2, 1, 2, 2, 5, 2, 5, 3A = 1, 0, 1, 2, 1, 0, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 0, 5, 1, 1, 1, 3, 1, 4A = 1, 2, 0, 1, 0, 2, 4, 1, 4, 3, 1, 2, 2, 5, 2, 1, 2, 3, 5, 4Exercice 19On considere u1 = 1, 2, 1, 0, u2 = 1, 1, 1, 1, u3 = 1, 0, 1, 0, u4 = 0, 1, 1, 1, u5 = 2, 1, 1, 1des vecteurs de R4.1. Justifier sans calcul que la famille A1 = u1, u2, u3, u4, u5 est une famille liee, et que lafamille A2 = u1, u2, u4 n’est pas une famille generatrice de R4.2. Extraire une famille A libre de A1.3. Dedire que A est une base de R4.4. Determiner les coordonnees du vecteur x, y, z, t de R4 dans la base A.6
Page 7 : Exercice 20On considereΦ : R3X →R2XP 7→1 XP ′′X1. Montrer que Φ est lineaire.2. Determiner ΦPi, avec Bc = Pi, i = 0, 1, 2, 3 est la base canonique de R3X.3. Determiner une base du noyau de Φ. Deduire dim ker Φ.4. Determiner une base de ImΦ. Deduire rgΦ.5. Expliquer pourquoi R3X = ker Φ ImΦ.Exercice 21On considere P1 = 1 X, P2 = 1 X2, P3 = X3 X2 + X, P4 = X3 + X + 1, P5 = X3 despolynˆomes de R3X.1. La famille P1, P2, P3, P4, P5 est-elle libre ?2. Montrer que B = P1, P2, P3, P4 est une base de R3X.3. Determiner les coordonnees du polynˆome a0 +a1X +a2X2 +a3X3 de R3X dans la base A.4. Determiner les coordonnees de P5 dans la base A.Exercice 22On consideref : R4 →R3x, y, z, t 7→x z, y + t, z x y t1. Montrer que f est lineaire.2. Determiner une base B1 du noyau de f. En deduire dim ker f.3. Determiner une base de Imf. L’application f est-elle surjective ?4. Soit A = x, y, z, t R4 x + y + z = x t = 0, determiner une base B2 de A.5. Montrer que B = B1, B2 est une base de R4. Que peut-on deduire ?Exercice 23Soient les sous-espaces vectoriels de R3 :F = x, y, z R3 x + y + z = 0G = x, y, z R3 x = y1. Trouver une famille de vecteurs qui engendre F, puis une famille de vecteurs qui engendreG, puis F G.2. Les sous-espaces vectoriels F et G sont-ils supplementaires ?7
Page 8 : Exercice 24Soient E = R3, G = vect1, 1, 0 et F = x, y, z R3 2x y z = 0.1. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E.2. Montrer que F G = E.Exercice 25Prouver que les espaces P = f : R →R f paire et I = f : R →R f impaire sontsupplementaires dans FR, R l’espace des fonctions de R dans R.8
