TD3 Forme bilineaire
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Page 1 : 2023/2024Semestre 2 – PréIng 2Algèbre Linéaire & BilinéaireTD3 - Algèbre BilinéaireFormes bilinéairesExercice 1 Forme bilinéaire antisymétriqueSoit ϕ la forme sur R2 × R2 définie pour tout x = x1, x2 R2 et y = y1, y2 R2 par :ϕx, y = x1y2 x2y11 Montrer que ϕ est anti-symétrique. ϕ est-elle symétrique ?2 Montrer que ϕ est bilinéaire.Exercice 2 Forme de LorentzSoit c 0 un paramètre réel et ϕ : R4 × R4 →R définie pour tout x = x1, x2, x3, x4 R4 et y =y1, y2, y3, y4 R4 par :ϕx, y = x1y1 + x2y2 + x3y3 c2x4y41 Montrer que ϕ est une forme bilinéaire symétrique sur R4.2 ϕ est-elle positive ? définie ?3 On note B = e1, e2, e3, e4 la base canonique de R4. Donner la matrice de ϕ dans B.Exercice 3Déterminer la forme bilinéaire ϕ sur R3 de matrice A dans la base canonique de R3.A =123234345Exercice 4 Matrice d’une forme bilinéaireConsidérons la forme bilinéaire sur R2 : x = x1, x2, y = y1, y2 R2ϕx, y = 5x1y1 + 7x1y2 + 7x2y1 + 10x2y21 Déterminer la matrice de ϕ dans la base canonique B de R2. ϕ est-elle symétrique ?2 Soit B′ = v1, v2 avec v1 = 3, 2 et v2 = 1, 1.Déterminer la matrice de ϕ dans la base B′. Donner l’expression de ϕ par rapport à B′.Exercice 5R3 est rapporté à sa base canonique B = e1, e2, e3. Soit f la forme bilinéaire sur R3 définie par : x =x1, x2, x3 R3 et y = y1, y2, y3 R3 :fx, y = x1y1 + 6x2y2 + 56x3y3 2x1y2 + x2y1 + 7x1y3 + x3y1 18x2y3 + x3y21 Donner la matrice A de f par rapport à la base B.2 Soit :e′1 = e1 ;e′2 = 2e1 + e2 ;e′3 = 3e1 + 2e2 + e3Montrer que B′ = e′1, e′2, e′3 est une base de R3.3 Donner la matrice A′ de f par rapport à B′. Donner l’expression de f par rapport à B′.1
Page 2 : 4 Soit q la forme quadratique associé à f, i.e. :qx = fx, xx R3a Donner l’expression de qx par rapport aux composantes de x dans chacune des bases B et B′.b f est-elle positive ? définie ?Exercice 6Soit E un R-ev. Montrer queL2,sE × E; R L2,aE × E; R = L2E × E; RFormes bilinéaires - Exercices supplémentairesExercice 7 Matrice d’une forme bilinéaireConsidérons la forme bilinéaire sur R2 : x = x1, x2, y = y1, y2 R2ϕx, y = 2x1y2 + 2x2y11 Déterminer la matrice de ϕ dans la base canonique B de R2. ϕ est-elle antisymétrique ?2 Soit B′ = v1, v2 avec v1 = 1, 1 et v2 = 1, 1.Déterminer la matrice de ϕ dans la base B′. Donner l’expression de ϕ par rapport à B′.Exercice 8Considérons les formes bilinéaires sur Rn suivantes :1 n = 2 et ϕx, y = x1y1 2x2y2.2 n = 3 et ϕx, y = x1y1 x1y2 x2y2 2x2y3 x3y1 2x3y3.3 n = 3 et ϕx, y = x1y1 3x2y2 x3y3.4 n = 3 et ϕx, y = x1y2 2x1y3 + x2y1 3x2y3 + 2x3y1 + 3x3y2.Déterminer la matrice A dans la base canonique de Rn de chacune des f.b. ϕ.A partir de A, ϕ est-elle symétrique ? antisymétrique ?Si ϕ est symétrique, ϕ est-elle positive ? définie ?Exercice 9 Forme sur un espace de dimension infinieNote : Soit I R un intervalle.L’intégrale sur I, de toute fonction continue et positive sur I, existe toujours. Elle est finie ou infinie.1 Soit E = CR, R. On définit l’application ϕ sur E parϕf =Z +0fxexdxf Eϕ est-elle une forme sur E ?2 Soit E = RX. On définit l’application ϕ sur E parϕf =Z +0PxexdxP Eϕ est-elle une forme sur E ? Si oui, est-elle linéaire ?2
Page 3 : Espaces PréhilbertiensExercice 10Pour tout x = x1, x2, x3 R3 et y = y1, y2, y3 R3, on pose :ϕx, y = x1 2x2y1 2y2 + x2y2 + x2 + x3y2 + y3Montrer que ϕ est un produit scalaire sur R3.Exercice 11Montrer que l’application ϕ suivante est un produit scalaire sur Rx :ϕP, Q =Z 10PxQx dxP, Q RxExercice 12Soit n N. Montrer que la forme ϕ suivante est un produit scalaire sur Rnx :ϕP, Q =nXk=0PkQkP, Q RnxExercice 13Soit E = C1, 1 , R. Pour tout f, g E, on poseϕf, g =Z 11ftgt1 t2dtMontrer que ϕ définit un produit scalaire sur E.Exercice 14Soit E = C10, 1 , R. Pour tout f, g E, on poseϕf, g = f0g0 +Z 10f ′tg′tdtMontrer que ϕ est un produit scalaire sur E.Exercice 15 Inégalité de SchwarzEn utilisant l’inégalité de Schwarz, démontrer les inégalités ci-dessous et en étudier les cas d’égalité.Pour chaque cas, préciser l’espace préhilbertien E, ⟨. , .⟩ dans lequel on travaille et les vecteurs de E con-cernés.1 x1, . . . , xn Rn : x1 + · · · + xn2 nx21 + · · · + x2n.2 x1, . . . , xn R+n : x1 + · · · + xn1x1 + · · · +1xnn2.3 M MnR : trM2 n trM T M.4 Pour toute fonction f continue et strictement positive sur a, b, avec a, b R et a b : Z bafxdx! Z ba1fxdx!b a2Exercice 16 Norme euclidienneSur R2, on définit les fonctions suivantesx1 = x1 + x2 ;x2 =qx21 + x22x = x1, x2 R23
Page 4 : 1a Vérifier que .1 est une norme sur R2.b Montrer que .1 n’est pas une norme euclidienne.2a Vérifier que .2 est une norme sur R2.Indication : Pour x, y R2 fixés, étudier le discriminant de la fonction polynomiale de degré 2définie pour tout t R parft = x + ty22, t Rb Montrer que .2 est une norme euclidienne et déterminer le produit scalaire associé.Exercice 17 OrthogonalitéM2R est muni de son produit scalaire usuel :⟨A, B⟩= trAT B ;A, B M3RSoit A =1111et B =10011 Montrer que A B.2 Déterminer le s.e.v. Aet donner sa dimension.Exercice 18 Base orthonormale Espace R4R4 est muni de son produit scalaire usuel. Soitε1 = 121, 1, 1, 1 ; ε2 = 121, 1, 1, 1 ; ε3 = 121, 1, 1, 1a Montrer que la famille ε1, ε2, ε3 est orthonormale.b Déterminer les vecteurs ε4 tels que la famille ε1, ε2, ε3, ε4 soit une base orthonormale de R4.Exercice 19 Supplémentaire orthogonalConsidérons l’espace euclidien usuel M4,1R, ⟨. , .⟩. SoitU1 =1100;U2 =0011;V1 =1100;V2 =00111 On pose E1 = V ectU1, U2 et E2 = V ectV1, V2. Montrer que E = E1E2.2 La famille U1, U2, V1, V2 est-elle une base orthogonale de M4,1R ?Exercice 20 Supplémentaire et orthogonalitéSoit E, ⟨. , .⟩ un espace euclidien. Soit E1 et E2 deux s.e.v. supplémentaires dans E. Montrer que E =E1 E2 .Espaces Préhilbertiens - Exercices supplémentairesExercice 21Soit E un R-ev non réduit à 0E, ϕ un produit scalaire sur E, a, b, c R3 et ψ la forme sur E × E définiepar : x, y E :ψx, y = aϕx, x + bϕx, y + cϕy, yDonner une condition nécessaire et suffisante sur a, b, c pour que ψ soit un produit scalaire sur E.4
Page 5 : Exercice 22 Famille orthonormale Espace de fonctionsSoit E = C0, 1, R, le R-ev des fonctions continues sur le segment a, b et à valeurs réelles. Soit ϕ : E×E →R définie par :ϕf, g =Z 10ftgt dtf, g E1 Montrer que ϕ est un produit scalaire sur E.2 Considérons la suite de fonctions définie par :n Nfn : t 0, 1 7→cos2πntMontrer que fnnNest une famille orthogonale. Est-elle orthonormale ?3 On pose gn =2fn. Montrer que la famille gnnNest orthonormale.Rappel. cos a cos b = 12 cosa + b + cosa bExercice 23 Base orthogonale Espace de polynômesDéterminer une base orthogonale de R2X pour le produit scalaire⟨P, Q⟩=Z 10PxQx dxP, Q R2XExercice 24 Base orthonormale Espace de matricesM3R est muni de son produit scalaire usuel :⟨A, B⟩= trAT B ;A, B M3RDéterminer une base orthonormale du s.e.v. F de M3R engendré par les matricesJ =110010001;K =100011001;L =1100110015
