TD3 Integrales Curvilignes
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Page 1 : Departement de MathematiquesPreing 2 - Integration et Probabilite2021 - 2022TD 3 - Integrales CurvilignesExercice 1. On considere la forme differentielle de degre 1 definie par :ω = 2xy dx x2y2 dysurU =x, y R2 : y 0.1. Montrer que ω est fermee sur U.2. Montrer de deux fa¸cons differentes que ω est exacte.3. CalculerZCω,ou C est une courbe C1 par morceaux d’origine A = 1, 2 et d’extremite B = 3, 8.Exercice 2.1. Soitω = x2dx + y2dy.Calculer l’integrale de ω le long de tout cercle du plan parcouru une fois dans le sens trigonometrique.2. Soitω = y + zdx + z + xdy + x + ydzCalculer l’integrale de ω le long du cercle C de l’espace : x2 + y2 + z2 = 1x + y + z = 0Exercice 3. Calculer l’integrale curviligne :ZΓy2dx + x2dy,lorsque Γ est l’une des courbes suivantes :1. x2 + y2 ay = 0.2.x2a2 + y2b2 1 = 0.3.x2a2 + y2b2 2xa 2yb = 0.Exercice 4. Calculer l’integrale curviligne :ZΓxy2 + ydx + x2dyou Γ est le chemin ACB avec :A = 1, 1;C = 2, 1;B = 2, 2.1
Page 2 : Exercice 5. Calculer de 2 fa¸cons differentes l’integrale double :Z Z2x3 ydxdy.ou=x, y R2 : x 0, y 0 et x2a2 + y2b2 1Exercice 6.1. Calculer l’integrale curviligne :ZΓxdy x lnx + 1dx.sur la courbe :Γ =x, y R2 : 0 x 1ety = x 1 lnx + 1.2. Calculer l’integrale curviligne I le long de la boucle fermee constituee par les deux arcs de paraboley = x2 et x = y2 decrite dans le sens direct.I =ZΓ2xy x2dx + x + y2dyVerifier le resultat en utilisant la formule de Green-Riemann.3. Calculer l’integrale :Z ZDx2 y2dxdyou D est le domaine du plan defini par :D =x, y R2 : x 0, y 0etx2 + y2 R2.Exercice 7. Soit D l’ensemble des elements x, y de R2, tels que :0 x 1, 0 y 1etx2 + y2 1.Calculer l’integrale suivante en utilisant la formule de Green-Riemann :I =Z ZDxy1 + x2 + y22 dxdy.Exercice 8. On considere la forme differentielleω = yx2 + y2 dx +xx2 + y2 dy.1. Dans quel domaine cette forme differentielle est-elle definie ?2. Calculer l’integrale curviligneZCyx2 + y2 dx +xx2 + y2 dyou C est le cercle de centre O et de rayon 1, parcouru dans le sens direct.3. La forme ω est-elle exacte ?2
Page 3 : Exercice 9. Determiner si les formes differentielles suivantes sont fermees, exactes dans ce cas, donnerune primitive :1. ω = x2 + 3ydx + y3dy2. ω = xydx zdy + xzdz.3. ω = x3dx + y3dy + z3dz.Exercice 10. On considere ω la forme differentielle deffinie sur R2 parω = x2 + y2 a2dx 2aydy,ou a R×.1. Prouver que la forme differentielle n’est pas exacte.2. Soit f une fonction de classe C1 de R dans R. On poseαx, y = fxωx, y.Quelle condition doit veriffieer la fonction f pour que la forme differentielle α soit exacte ? Cettecondition est-elle suffisante ? Determiner une fonction f veriffiant la condition precedente.3. Calculer une primitive de α sur R2.4. Soit Γ le cercle de rayon R et de centre 0, 0. DeterminerRΓ α.Exercice 11. En utilisant la formule de Green, calculer :1. l’aire de l’ellipse :x2a2 + y2b2 1.2. l’aire du domaine delimite par les axes Ox, Oy et la courbe parametree parx = a cos3 t, y = a sin3 t,t h0, π2i.Exercice 12.1. Calculer l’integrale de la forme differentielleω =eyx2 + y2 x sin x y cos xdx + x cos x + y sin xdyle long du contour oriente dans le sens direct :Γ = Γ1 Γ2 Γ3 Γ4,avecΓ1=x, 0 : r x RΓ2=x, y R2 : y 0, x2 + y2 = r2Γ3=x, 0 : R x rΓ4=x, y R2 : y 0, x2 + y2 = R2.2. En deduireR Rrsin xx dx en fonction d’une autre integrale.3. En faisant tendre r vers 0 et R vers +, determiner la valeur deR +0sin xx dx.3
