TD3 Integrales multiples
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Page 1 : 2024/2025Semestre 2 – PréIng 2Intégration et ProbabilitésTD3 - Intégrales multiplesApplications du coursExercice 1Calculer de deux manières différentes l’intégrale suivante un calcul direct ou à l’aide d’une formule detrigonométrie I =Zπ20Zπ20cosx + ydxdy.Exercice 2Soit a 0 et soit K le compact limité par les côtés du triangle OAB avec A2a, a et B3a, 3a. À l’aided’une intégration par tranches, calculerZZKxydxdy.Retrouver ensuite ce résultat à l’aide d’une intégration par piles.Exercice 3Calculer l’aire de la surface délimitée par l’ellipse d’équation x2a2 + y2b2 = 1 avec a 0, b 0.Exercice 4Grâce à un changement de variable en polaire, calculerZRe12 x2dx2, puis déterminer la valeur del’intégrale de GaussZRe12 x2dx.Exercices classiquesExercice 5Soit D le domaine délimité par les deux courbes d’équationy2 = 4x + 4 et y2 = 4x + 4.1. Représenter graphiquement D.2. Calculer l’aire du domaine D.Exercice 6Calculer l’intégraleZZfx, ydxdy dans les cas suivants.1. fx, y = xy2 et le disque délimité par le cercle d’équation x2 + y2 2Rx = 0, R 0;2. fx, y = x2 + y2 et =nx, y R2;x2a2 + y2b2 1oavec a 0, b 0.3. fx, y =x + y2x2 + y2 + 1 et =x, y R2; x2 + y2 1.1
Page 2 : 4. fx, y = xy et est la partie du plan délimitée pary = x2 et x = y2.Exercice 71. Soit 0 a b et fx =Z bs=axsds sur R+. Calculer une expression explicite de f.2. En se ramenant à une intégrale double, déterminer la valeur deI =Z 10xb xalnx dx.Exercices supplémentairesExercice 8 Déterminer la valeur de I =RR0;12 x ydxdy.Exercice 9 Soit 0 a b etK =x, y R2; a x + y b et 13 yx 3.CalculerZZKexp x + yxydxdy.Indication : on pourra effectuer le changement de variables : u = x + y et v =yx+y.2
