TD3 Integration de fonctions mesurables et positives
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Page 1 : CY-Tech - Département Mathématiques1ère année Ingénieurs - Génie MathématiqueMesure & intégrationTD3 – Intégration de fonctions mesurables positivesSoit ϕ E+Ω,T etmXi=1ai1Ai sa représentation canonique. On appelle intégrale de ϕ sur Ωparrapport à la mesure µ et on noteZΩϕdµ ouZΩϕxdµx, la sommemXi=1aiµAi :ZΩϕdµ =mXi=1aiµAiIntégrale d’une fonction étagée positive – Rappel 1.EXERCICE 1 Vérifier que la fonction indicatrice 1R est δ0-intégrable sur R mais n’est pas λ-intégrable surR.EXERCICE 2 Soient Ω= N, T = P N et µc la mesure de comptage définie sur N,P N.1. Soit A P N. Montrer que µc A =XnN1An.2. Soit ϕ une fonction étagée positive sur N,P N. Montrer queZNϕdµc =XnNϕn.EXERCICE 3 Additivité domaniale Soit ϕ une fonction étagée positive sur un espace mesuré¡Ω,T ,µ¢.Pour F et G deux ensembles mesurables disjoints, montrer queZFGϕdµ =ZFϕdµ+ZGϕdµ.EXERCICE 4 Soit f une fonction réelle définie pour tout x R parf x = 11;2x+513;5x.On note λ la mesure de Lebesgue, δ 32 la mesure de Dirac concentrée en 32 et µd la mesure de comptage.Calculer en justifiant vos calculs les intégrales suivantes :I1 =ZRf dλ, I2 =ZRf dδ 32 , I3 =ZRf dµd
Page 2 : Mesure et intégrationSoit¡fn¢nN une suite croissante de fonctions de L+Ω,T qui tend µ-p.p vers une fonction f , alors1. f L+Ω,T ,2. La suiteµZfn dµ¶nNconverge en croissant versZf dµ.Théorème de convergence monotone ou de Beppo-Levi – Rappel 2.EXERCICE 5 Soit l’espace mesuré R,BR,λ où λ est la mesure de Lebesgue et soitfnx =¡1en cosx¢10,π/2.Calculer limn→+Zfndλ.EXERCICE 6 Soient Ω= N, T = P N et µ la mesure de comptage définie sur Ω,T . Pour n N, soitfn = 1n. DéterminerZNlimn→+fndµ et limn→+ZNfndµ. Commenter vos résultats.EXERCICE 7 Soit fnn0 une suite de fonctions mesurables positives sur¡Ω,T ,µ¢. On définit la fonctionF pour tout x ΩparFx =+Xn=0fnx.Montrer que la fonction F est mesurable positive et queZΩFdµ =+Xn=0µZΩfndµ¶.EXERCICE 8 Soit Ω,T ,λ un espace mesuré où λ est la mesure de Lebesgue. Soit¡fn¢n une suite décrois-sante de fonctions mesurables et positives sur Ω. On suppose queZΩf0dλ +. Montrer que1. la suite¡fn¢n converge, on note f la limite de¡fn¢n;2. f est λ-intégrable;3.limn→+ZΩfndλ =ZΩf .ING1 GM – TD32/2
