TD3 Integration
Télécharger le TD3 Integration en pdf
Page 1 : Cycle Preparatoire - Premiere AnneeAnalyse II - 2021/2022IntegrationExercice 1Soit f la fonction definie sur 0, 4 parfx =1si x = 01si 0 x 13si x = 12si 1 x ⩽24si 2 x ⩽4.1. CalculerZ 40ft dt.2. Soit x 0, 4, calculer Fx =Z x0ft dt.3. Montrer que F est une fonction continue sur 0, 4. La fonction F est-elle derivablesur 0, 4 ?Exercice 2Calculer les integrales suivantes :Z 312t 5 dt,aZ π0pEt dt, E partie entierebZ π0min2, t dt,cZ 21tt dt.dExercice 3Zx1 + x2dxaZ3x1 + x2dxbZ1x ln xdxcZe3x1 + e3xdxdZcosx sin2xdxeZ1 x2x3 3x + 13dxfZx 1pxx 2dxgZ1x ln x2dxhZ3x13x2 2x + 3dxiZ ln xx dxjZ1 cos3xdxkZx sinx2dxlZ ln xxdxm
Page 2 : Exercice 4 Integration par partiesCalculer les primitives suivantes :Zex cos xdxaZ ln xxn dx avec n 1bZx arctan xdxcZ x2 + x + 1exdxdZex sin xdxeZln x2dxfZarctan xdxgZx3 sin xdxhExercice 5Calculer les primitives suivantes :Z12 + x +32 + xdx,t =62 + xaZarcsin x2dxbZx21 + x3dx.cZex3 + ex ex 1dxdZcos xdx.eZ 1 + exxdxfZetan xcos x2dxgZx31 + x2dxhExercice 6Calculer les integrales suivantes :Z 10t1 t2 dtaZ a0a2 t2 dtbZ π0t2 sin t dtcZ 11π24cos1 t dtdZ 11t 11 + t2dteZπ20dt2 + sin tfZ 411 ttdtgZ 41dt1 + ethZ 10tarctan t2dtiExercice 7Considerons l’integrale I =Z ln 20ex 1 dxEffectuer le changement de variables u =ex 1 et calculer I.Exercice 81. Soit f : a, b →R une fonction continue.Montrer queZ bafxdx =Z bafa + b xdxEn deduire le valeur de l’integraleZπ40ln1 + tanxdx2. Montrer queZ a1a1 + 1x2arctan xdx = π2a 1apour a 1, Indication : utiliser la formule arctan x + arctan 1x = π2 , pour x 0 .
Page 3 : Exercice 9Decomposer les fractions rationnelles suivantes ; en calculer les primitives.x3x2 4.a4xx 22.b3t + 1t2 2t + 10.c1t3 + 1.dx3 + 2x + 12.ex + 1xx 22.fx2 2xx 12 x2 + 1g3x4 9x3 + 12x2 11x + 7x 13x2 + 1.hExercice 10Soit In =Z 101 t2ndt.1. Etablir une relation de recurrence entre In et In+1.2. Calculer In.3. En deduirenXk=01k2k + 1nk.Exercice 11 Integrales de WallisSoit In =Zπ20sinn tdt.1. Etablir une relation de recurrence entre In et In+2.2. En deduire I2p et I2p+1.3. Montrer que InnN est decroissante et strictement positive.4. En deduire que In In+1.5. Calculer nInIn+1.6. Donner alors un equivalent simple de In.Exercice 12Soit In =Z 10xn1 + xdx.1. En majorant la fonction integree, montrer que InnN →0.2. Calculer In + In+1.3. Determinerlimn→+nXk=11k+1k.Exercice 13 Series de RiemannCalculer :limn→nYk=11 + k2n2 1nalimn→nnXk=1enkk2blimn→nXk=1n + kn2 + k2climn→n1Xk=11n2 k2.d
Page 4 : Exercice 14Calculer les limites suivantes :1. limn→1 +2 +3 + · · · + nnn.2. limn→nXp=1nn2 + p2.Exercice 15Sans calculer les integrales, montrer queZ π/20sinn x dx =Z π/20cosn x dx.Exercice 16Soit f C0R. On definit g : R→R, x 7→1xZ x0ftdt.1. Montrer que g se prolonge par continuite en 0.2. On suppose f T-periodique. Montrer que : k N,Z k+1TkTftdt =Z T0ftdt.3. Ecrire gx sous la forme 1xZ nT0ftdt + 1xZ xnTftdt pour un entier n bien choisi,et en deduire que g admet une limite en +.Exercice 17Soit f : R →R une fonction continue sur R et Fx =Z x0ftdt.Repondre par vrai ou faux aux affirmations suivantes :1. F est continue sur R.2. F est derivable sur R de derivee f.3. Si f est croissante sur R alors F est croissante sur R.4. Si f est positive sur R alors F est positive sur R.5. Si f est positive sur R alors F est croissante sur R.6. Si f est T-periodique sur R alors F est T-periodique sur R.7. Si f est paire alors F est impaire.Exercice 18Determiner les fonctions f continues sur a, b telles queZ baftdt = b a supa,bf.Exercice 19Soit f C0R. On definit g : R→R, x 7→1xZ x0ftdt.1. Montrer que g se prolonge par continuite en 0.2. On suppose f T-periodique. Montrer que : k N,Z k+1TkTftdt =Z T0ftdt.3. Ecrire gx sous la forme 1xZ nT0ftdt + 1xZ xnTftdt pour un entier n bien choisi,et en deduire que g admet une limite en +.
