TD3 Integration
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Page 1 : Departement de MathematiquesPreING1-Analyse2021 - 2022TD 6 - IntegrationCalcul integralExercice 1. -Calculer les primitives suivantes :Zx1 + x2 dx ;Z3xp1 + x2dx ;Z1x ln xdx ;Ze3x1 + e3x dx ;Zcosx sin2xdxZ1 x2x3 3x + 13 dx ;Zx 1pxx 2dx ;Z1x lnx2dx ;Z3x 13x2 2x + 3dxZ ln xx dx ;Z1 cos3xdx ;Zx sinx2dx ;Z ln xxdxExercice 2. -Integration par parties Calculer les primitives suivantes :Zex cos xdx;Z ln xxn dx n 1;ZxArctan xdx;Zx2 + x + 1exdx.Zex sin xdx;Zln x2dx;ZArctan xdx;Zx3 sin xdx.Exercice 3. -Calculer les primitives suivantes :1.Z12 + x +32 + xdx,t =62 + x2.Zarcsin x2dx3.Zx2p1 + x3dx.4.Zex3 + exex 1dx5.Zcos xdx.6.Z 1 + exxdx7.Zetan xcos x2 dx8.Zx31 + x2 dxExercice 4. -Decomposer les fractions rationnelles suivantes ; en calculer les primitives.1
Page 2 : 1.x3x2 4.2.4xx 22 .3.3t + 1t2 2t + 10.4.1t3 + 1.5.x3 + 2x + 12 .6.x + 1xx 22 .7.x2 2xx 12x2 + 1.Exercice 5. -Soit f la fonction definie sur 0, 4 parfx =1si x = 01si 0 x 13si x = 12si 1 x 24si 2 x 4.1. CalculerR 40 ft dt.2. Soit x 0, 4, calculer Fx =R x0 ft dt.3. Montrer que F est une fonction continue sur 0, 4. La fonction F est-elle derivable sur0, 4 ?Exercice 6. -Calculer les integrales suivantes :1.Z 312t 5 dt,2.Z π0pEt dt,3.Z π0Min2, t dt,4.Z 21tt dt.Exercice 7. -Calculer les integrales suivantes :Z 10t1 t2 dt;Z a0pa2 t2 dt;Z π0t2 sin t dt;Z 11π24cos1 t dtZ 11t 11 + t2 dt;Zπ20dt2 + sin t;Z 411 ttdt;Z 41dt1 + et;Z 10tArctant2dtExercice 8. -Changement de variable calculer les integrales suivantes : Considerons l’integraleI =Z ln 20ex 1 dxEffectuer le changement de variables u = ex 1 et calculer I.Resultat : I = 2 π/2.2
Page 3 : Exercice 9. -1- Soit f : a, b →R une fonction continue. Montrer queR ba fxdx =R ba fa + b xdx,en deduire le valeur de l’integraleZπ40ln1 + tanxdx.2-Montrer queZ a1a1 + 1x2 arctan x dx = π2 a 1apour a 1,Indication : utiliser la formule arctan x + arctan 1x = π2 , pour x 0 .Calcul des suitesExercice 10. -Soit In =Z 101 t2ndt.1. Etablir une relation de recurrence entre In et In+1.2. Calculer In.Exercice 11 Integrales de Wallis. -Soit In =Zπ20sinn tdt.1. Etablir une relation de recurrence entre In et In+2.2. En deduire I2p et I2p+1.3. Montrer que InnN est decroissante et strictement positive.4. En deduire que In In+1.5. Calculer nInIn+1.6. Donner alors un equivalent simple de In.Exercice 12. -Soit In =Z 10xn1 + xdx.1. En majorant la fonction integree, montrer que InnN →0.2. Calculer In + In+1.3. Determinerlimn→+nPk=11k+1k.Exercice 13. -Calculer :limn→nYk=11 + k2n2 1n;limn→nnXk=1enkk2;limn→nXk=1n + kn2 + k2 ;limn→n1Xk=11n2 k2 .Exercice 14. -Calculer les limites suivantes :3
Page 4 : 1.limn→nXp=1nn2 + p2 .Exercice 15. -Sans calculer les integrales, montrer queZ π/20sinn x dx =Z π/20cosn x dx.Pour aller plus loinExercice 16. -Soit f C0R. On definit g : R→R, x 7→1xZ x0ftdt.1. Montrer que g se prolonge par continuite en 0.2. On suppose f T-periodique. Montrer que : k N,Z k+1TkTftdt =Z T0ftdt.3. Ecrire gx sous la forme 1xZ nT0ftdt + 1xZ xnTftdt pour un entier n bien choisi, et endeduire que g admet une limite en +.Exercice 17. -Soit f : R →R une fonction continue sur R et Fx =Z x0ftdt.Repondre par vrai ou faux aux affirmations suivantes :1. F est continue sur R.2. F est derivable sur R de derivee f.3. Si f est croissante sur R alors F est croissante sur R.4. Si f est positive sur R alors F est positive sur R.5. Si f est positive sur R alors F est croissante sur R.6. Si f est T-periodique sur R alors F est T-periodique sur R.7. Si f est paire alors F est impaire.Exercice 18. -Determiner les fonctions f continues sur a, b telles queZ baftdt = b a supa,bf.4
