TD3 Limites
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Page 1 : Cycle pré-ingénieur - Première AnnèeAnalyse 1 - 2023/2024TD 3 - Limites et continuitéGénéralités sur les fonctionsExercice 1. Soit f une fonction définie de R vers R.Ecrire à l’aide de quantificateurs et symboles logiques les propositions suivantes :1. f n’est pas constante.2. 2 n’est pas l’image d’un réel par f.3. f prend toujours la même valeur pour des réels opposés.4. Aucun réel négatif n’est égal à son image.Exercice 2.1. fx = ln1 4x22. Pour quelles valeurs de x les points du graphe de f d’abscisse x sont-il audessus de l’axe des abscisses ?A faire chez soi2. Soit la fonction fx = cos x + 2x2 + 1 .Est-elle bornée sur Df on ne cherchera pas à étudier les variations de f ? Déterminer la positionrelative du graphe de f par rapport à celui de la fonction gx =1x2 + 1.Définition de la limiteExercice 3. Montrer, en revenant à la définition, que :1. limx→3x + 1 = 22. limx→0x2 cos 1x= 03. limx→2x + 1x 2 = +4.limx→+1ex + 1 = 0.A faire chez soi1
Page 2 : Exercice 4. Soit f : R \ 1/3 →R telle que fx = 2x+33x1. Pour tout ϵ 0 déterminer α tel que,x ̸= 1/3 et x α =⇒fx + 3 ϵ.Que peut-on en conclure ?Propriétés des limitesExercice 5. Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant x0 dans son intérieur.On suppose que limx→x0 fx = u 0.Démontrer qu’il existe α 0 tel que si 0 x x0 α alors fx u2 .Exercice 6. Soit f : R →R périodique, qui admet une limite finie en +.Montrer que f est constante.Exercice 7. Soient f, g : R →R, et l, l′ R tels que : limx→0 fx = l et limx→0 gx = l′.Montrer quelimx→0 Maxfx, gx = Maxl, l′.Exercice 8. Est-il vrai que si f et g dont deux fonctions positives sur R+, et si f et g ont même limiteen +, alors lim+fg = 1.Exercice 9. Soient f et g deux fonctions définies sur R+ telles quex R+ gx 0etlimx→fxgx = L ̸= 0.1. Montrer quelimx→fx = 0 ⇐⇒limx→gx = 0.2. Montrer que si L 0,limx→fx = ⇐⇒limx→gx = .A faire chez soiExercice 10.1. Soit f une fonction définie sur R, telle que :limx→+fx = l R. Montrer la propriété suivante :P ϵ 0, A R, x, x′ R, x A et x′ A =⇒fx fx′ ϵ2. Ecrire la négation de la propriété P.3. Montrer que la négation de P est vraie pour la fonction fx = sinx on pourra penser àprendre x = 2nπ, x′ = 2nπ + π2 . Conclure.4. Quelles sont les fonctions périodiques admettant une limite finie en +?2
Page 3 : Calculs de limitesExercice 11. Calculer les limites suivantes :1. limx→0 x. sin 1x2.limx→+x cosexx2 + 13.limx→+exsin x4. limx→0 x · E 1x5.limx→+x · E 1xExercice 12. Déterminer les limites suivantes :1. limx→13x3 1 2x2 12.limx→+px2 + 2x 1 x3.limx→+g x où g x =qx +x + 1 qx +x 1ContinuitéExercice 13.1. Soit f définie par :e3x 1xsi x 0x2 + 2x + 3x3 + 1si x 0f est-elle continue sur R ?2. Soit g définie par : gx =sinaxxsi x 0ln1 + 3x2xsi x 0Quelle valeur doit-on donner à a pour que g soit prolongeable par continuité en 0 ?Exercice 14. Soit g la fonction définie par :gx =ln xx 1si 0 x 12 si x = 1x + 13x 1si x 1La fonction g est-elle continue en 1 ?A faire chez soi3
Page 4 : Exercice 15. Soit f définie parfx =e2x+2si x 12x + 3si 1 x 0x2 + 2x + 3si x 01. Représenter f.2. Montrer que f est continue et strictement croissante.3. Donner les formules définissant la fonction réciproque de f.Exercice 16. Étudier la continuité des fonctions suivantes :1. f1x = x2 cos 1xsi x ̸= 0f10 = 0 ;2. f2x = sin x sin 1xsi x ̸= 0f20 = 0 ;3. f3x = xEx sur R ;4. f4x = x Ex2et f5x = Ex + f4x.Exercice 17. Soit f la fonction définie sur R par :fx = 1 si x Q0 sinonMontrez que la fonction f n’est continue en aucun point de R.Exercice 18.1. Trouver toutes les fonctions f : R →R , continues en 0, qui vérifient : x R, fx = f3x.2. Trouver toutes les fonctions f : R →R , continues en 1, qui vérifient : x R, fx = fx2.Grands théorèmes de la continuitéExercice 19.1. Soit f une fonction continue sur a, b telle que fa, b a, b.Montrer, par considération de φx = fx x, qu’il existe c dans a, b tel que fc = c.2. Soit f une fonction continue sur 0, 1 telle que f0 = f1.Montrer qu’il existe c dans 0, 12 tel que fc = fc + 12.A faire chez soi3. Un mobile parcourt, à vitesse continue, une distance d en une unité de temps.Montrer qu’il existe un intervalle d’une demi-unité de temps pendant lequel il parcourt une distanced2.Exercice 20. Soit I un intervalle de R. Trouvez les fonctions f continues sur I dont l’image fI necontient qu’un nombre fini de points.Exercice 21.4
Page 5 : 1. Montrer que l’équation x17 = x11 + 1 admet au moins une solution dans R.2. Montrer que tout polynôme de degré impair admet au moins une racine réelle.Exercice 22. Soient f et g des fonctions définies et continues sur l’intervalle 0, 1.On suppose que f0 = g1 = 0, et g0 = f1 = 1. Montrer que :λ 0, x 0, 1, fx = λgx.Exercice 23. Soit f une fonction continue sur R. Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses.1. L’image par f d’un intervalle ouvert est un intervalle ouvert.2. L’image par f d’un segment est un segment.3. L’image par f d’une partie bornée est bornée.4. L’image réciproque par f d’un intervalle est un intervalle.A faire chez soiReprendre ces questions en supposant cette fois que f est strictement monotone en plus d’être continue.Exercice 24. Soit f une application de R dans R continue. On suppose que f admet une limite finieen +et en . Montrez que f est bornée.Exercice 25. Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I de R t. q. :x I, fx2 =gx2 ̸= 0.Montrer que l’on a : ou bien f = g, ou bien f = g.A faire chez soiExercice 26. Soit f la fonction définie par x R, fx =ex1 + ex .Montrer que f est continue, bijective et déterminer sa réciproque f 1.Exercice 27. Déterminer le nombre de solutions de l’équation ln x = mx selon les valeurs du paramètreréel m.Exercice 28.1. Montrer que, si f est strictement croissante, on a l’équivalence :f ◦fx = x ⇐⇒fx = x2. Soit f : R →R définie par fx = x5 + x 1 pour x R.a Montrer que f est bijective.b Résoudre dans R l’équation fx = f 1x.5
