TD3 Relations
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Page 1 : Cycle pré-ingénieur - Première AnnèeAlgèbre 1 - 2023/2024RelationsExercice 1. Les relations suivantes sont-elles symétriques, réflexives, transitives ?1. Sur R, l’égalité.2. Sur R, l’ordre strict .3. Sur R, l’ordre .4. Sur R, la relation « avoir le même carré » .5. Sur R, la relation « avoir le même sinus » .6. Sur l’ensemble des droites du plan, le parallélisme.7. Sur l’ensemble des droites du plan, l’orthogonalité.Exercice 2. Étudier les propriétés des relations suivantes. Dans le cas d’une relation d’équivalence, préciser lesclasses. Dans le cas d’une relation d’ordre, préciser si elle est totale et si l’ensemble admet un plus petit ou unplus grand élément.1. Soit E un ensemble, on définit sur PE :ARB ⇐⇒A B.2. Soit E un ensemble, on définit sur PE :ARB ⇐⇒A B = .3. Sur Z on définit : aRb ⇐⇒a et b ont la même parité.4. Sur Z on définit : aRb ⇐⇒n N, a b = 3n.5. Sur Z on définit : aRb ⇐⇒a b est divisible par 3.6. Sur R on définit :xRy ⇐⇒x2 y2 = x y.Exercice 3. Soit deux ensembles E et F et deux relations d’équivalences R sur E et S sur F. On définit alorssur E × F la relation :x, y x′, y′⇐⇒xRx′et yS y′Vérifier que est une relation d’équivalence.Exercice 4.1. On définit une relation binaire sur R+ parx y⇐⇒n N,y = xn.Montrer que est une relation d’ordre. Cet ordre est-il total ?2. Soit la relation définie sur E = x, y R2 : x y parx, y x′, y′⇐⇒x, y = x′, y′ouy x′.Montrer que est une relation d’ordre sur E.3. Soit E un ensemble et f : E →R une application injective. On définit sur E une relation binaire parx y⇐⇒fx fy.Montrer que est une relation d’ordre sur E.Exercice 5. On définit sur R2 la relation :x, y x′, y′ ⇐⇒x x′ y′ y.1
Page 2 : 1. Vérifier que c’est une relation d’ordre.2. Dessiner les ensembles des majorants et des minorants d’un couple a, b.3. L’ordre est-il total ?Exercice 6. Soit n 0 un entier et n la relation binaire définie sur Z par :a n b⇐⇒n divise a b.On parle d’égalité modulo n, aussi notée a b mod n ou a b n.1. Montrer que n est une relation d’équivalence.2. Combien existe-t-il de classes d’équivalence ? Donner un système de représentants.Pour aller plus loin3. Montrer que n est compatible avec l’addition et la multiplication de Z.Exercice 7. Soit R une relation d’équivalence sur un ensemble X. x X, on note x sa classe d’équivalence.Montrer que :1. x X, x x.2. x, y X2 on ax y ⇐⇒y x ⇐⇒x = y ⇐⇒x y ̸= .A faire chez soiExercice 8. Étudier la relation R définie sur l’ensemble des applications de R dans R parfRg⇐⇒A 0, x R, x A =⇒fx = gx,c’est-à-dire, la signifie que la fonction f est en relation avec g si et seulement si les deux fonctions sont égales àpartir d’un certain rang « à partir de un certain moment ».Exercice 9. Soit E un ensemble et R une relation binaire sur E, réflexive et transitive. On définit la relation :xS y⇐⇒xRyetyRxLes relations S et T sont-elles des relations d’équivalence ?Exercice 10. Soit R une relation symétrique et réflexive sur un ensemble X. On définit une relation S sur Xpar :xS y ⇐⇒n N, z0, · · · , zn X tels quez0 = xzn = y0 i n 1, ziRzi+1Montrer que S est une relation d’équivalence.2
