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Page 1 : CPI.II T.D. MATHEMATIQUES1E.I.S.T.I. - Département Mathématiques2e Année Classe PréparatoireT.D. MATHEMATIQUES CPI. IIT.D. n◦3 Séries Numériquesle 25 octobre 2019Ex.1Etudier la convergence des séries de terme général un :un = sinnαn2, pour n 1 etα R;un = 2n1 + 3n ;un =1nn2 + lnn n 1;un =sinn1 + cosn + en ;un =1nn lnn n 1;un = arctannα sin 1n3 , pour n 1 etα R;un = 1 + 1nnn2pour n 1;Ex.2Soit la série de Riemann suivante :Xn11nα pour α 0 et dierent de 1 :1 Déterminer un encadrement de :Z nn1dxxαEn faisant varier n et en ajoutant les inégalités adéquates, donner unencadrement de :Sn =nXk=11kα2 Dans le cas α 1, en déduire un equivalent de Sn quand n →.3 Dans le cas α 1, trouver un encadrement de la somme S deXn11nα etdonner un equivalent du reste : Rn = S Sn.Ex.3Etudier la sérieXnNun de terme général :un =11 + 2α + · · · + nα ,α R.Ex.4Déterminer un entier n tel que11 + 12 + . . .1n 10Ex.5
Page 2 : CPI.II T.D. MATHEMATIQUES21 Déterminer la nature de la série suivante :Xn21n lnn2 Montrer que quand n →on a :lnlnn + 1 lnlnn 1n lnnEn déduire un equivalent denXk=21k ln kEx.6Soit un = ln1 + 1n+1n,pour n 1.1 En utilisant un développement limité à l'ordre 3, étudier la nature de lasérieXn1un.Remarquer qu' au V+ un 1n+1n.Quelles reexions vous inspire-t-il ?2 Le même raisonnement s'applique-t-il aux séries suivantes de terme gé-néral ?vn = exp1n+1n 1;wn = sin1n+1n;xn = exp1n+1n 2n + 12n;yn = 1 + 1nn1 + nEx.7Etudier la nature des séries de terme général :un = cosnn2; vn = cosnn;wn = cos2nn;xn = cosnalnnn ,avec a R.Ex.8Pour n N on note :an = n!ennnn;etun = lnan+1 lnan;1 Montrer que la sérieXn1un converge.2 En déduire que la suite annNconverge vers un réel strictement positifqu'on notera L.3 Calculer L en formant : a2na2net en utilisant la formule de Wallis qui est :limn→2nn!22n!2n =rπ24 En déduire la formule de Stirling au voisinage de V :n! ne n 2πn
