TD3
Page 1 : Ondes - TD 3Probleme IDeux masses M1 et M2 sont placees sur un plan horizontal et libre de se deplacer sansfrottement. Elles sont reliees entres elles par un ressort ideal de constante de rappel k et delongueur au repos L0; chacune est egalement reliee a un mur vertical par un ressort idealde constante de rappel 2k et de longuer au repos L0. La distance entre les deux murs est3L0, et on mesure la position des blocs par rapport a leur position d’equilibre.a Donner les equations du mouvement de ce systeme sous forme matricielle. Donnerl’expression des tenseurs K et M.b Utiliser les valeurs propres de matrice M 1K pour trouver les pulsations propres dusysteme.On suppose maintenant que les deux masses sont identiques M1 = M2.c Donner les vecteurs propres de la matrice M 1K correspondant a chaque pulsationpropre. Les utiliser pour trouver la solution generale du probleme.d Si a t = 0 les deux masses sont au repos, mais que la masse de droite est deplaceed’une distance a vers la droite par rapport a sa position d’equilibre, alors que la massede gauche est a sa position d’equilibre, donner la solution particuliere du systemecorrespondante.M1M22kk2kProbleme IIa En utilisant la conservation de l’energie, etablir l’equation du mouvement d’un pend-ule simple de longueur L et de masse M. On note ψ l’angle d’inclinaison du pendulepar rapport a la verticale.Sous quelles conditions peut-on considerer le systemecomme un oscillateur harmonique? Quelles seraient alors la pulsation et la periodedu systeme?ψML1
Page 2 : b On couple deux pendules de longueur L et de masse M par un ressort ideal de con-stante de rappel k et de longueur au repos a. Les points d’attaches des pendulessont situes a une distance a l’un de l’autre. On note ψ1 et ψ2 l’angle d’inclinaisondu premier et du second pendule, respectivement. On supposera que les angles sontpetits, i.e. ψ1, ψ2 1.a Exprimer l’elongation du ressort en fonction des angles ψ1, ψ2 et des parametresL et M. Estimer l’inclinaison du ressort.b Utiliser la deuxieme loi de Newton pour obtenir les equations du mouvementdu systeme sous forme matricielle. Donner les pulsations propres ainsi que lesmodes propres correspondant.ψ1MLψ2MLak, a2
