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Page 1 : 3Ondes de matiereExercice 1 – Longueur d’onde de de BroglieDans la limite v 8 c, calculer la longueur d’onde de de Broglie1. d’un electron d’energie cinetique 10 eV.2. d’une personne de 70 kg se depla¸cant a la vitesse de 1 m s1.Exercice 2 – Questions de cours sujet avril 2022On considere une particule de masse m dans un puits infini de potentiel unidimen-sionnel de longueur L. Ce potentiel V est defini mathematiquement par :V x =ÑÑÑÑÇÑÑÑÑÄ+ô si x 0 ;0 si x " 0; L ;+ô si x L.1. Pour E 0, montrer que la partie spatiale de la fonction d’onde est„x = C coskx + S sinkx,avec k une constante a determiner. Les constantes C et S seront determineesdans la suite.2. A partir des conditions aux bords, determiner la valeur de C et exprimer ken fonction de L et d’un entier n strictement positif .3. En deduire les niveaux d’energie.4. Determiner S en utilisant l’interpretation de Born de la fonction d’onde.5. Tracer la partie spatiale de la fonction d’onde pour les trois premiers niveauxd’energie.6. Faire de mˆeme avec la densite de probabilite.7. Montrer que pour E & 0, la fonction d’onde est nulle.— 12/14 —
Page 2 : Exercice – Marche de potentielOn considere une particule d’energie E et de masse m provenant de ô etrencontrant une marche de potentielV x = w0, x " ô; 0 region I ;V0, x " 0; +ô region II.1. Cas E V01.a. Dans la region I, montrer qu’un etat stationnaire de la particule peut ˆetrerepresente par la fonction d’onde „x = A1 expi k1x+B1 expi k1x,avec k1 une constante a determiner.1.b. Dans la region II, montrer qu’un etat stationnaire de la particule peutˆetre represente par la fonction d’onde „x = A2 expi k2x, avec k2 uneconstante a determiner.1.c. Pour quelle raison peut-on supposer „ et d„dx continues au niveau de lamarche x = 0 ? En deduire l’expression de A1/2 et B1 en fonction de k1et k2.1.d. Que represente R = ªªªªªB1A1ªªªªª2 ? L’exprimer en fonction de k1 et k2.1.e. Determiner la probabilite de transmission a l’aide de l’interpretation deBorn.1.f. Discuter le cas E 9 V0.2. Traiter le cas E V0 dans la region II.3. En quoi les solutions determinees precedemment ne decrivent pas un etatphysique de la particule ? En quoi ces solutions restent utiles pour determinerun etat physique pertinent ?— 13/14 —
Page 3 : Exercice 3 – Barriere de potentielOn considere une particule libre de masse m et provenant de la gauche. Au pointd’abscisse x = 0, elle rencontre une barriere de potentiel de hauteur V0 0 et delargeur a :V x =ÑÑÑÑÇÑÑÑÑÄ0 si x 0 region IV0 si x " 0; a region II0 si x a region III.On se place dans le cas ou l’energie E de la particule est inferieure a la hauteur dela barriere V0 E 0.1. Fonctions d’ondes dans les regions I et III1.a. Montrer que dans la region 1 respectivement 3, la fonction d’onde dela particule peut s’ecrire :„1/3x = A1/3eikx + B1/3eikx,avec k une constante a determiner.1.b. Pour quelle raison B3 = 0 ?2. Montrer qu’a l’interieur de la barriere region II, la fonction d’onde peuts’ecrire :„2x = A2eqx + B2eqx,avec q une constante a determiner.3. En utilisant la continuite de la fonction d’onde et de sa derivee premiereaux points d’abscisse x = 0 et x = a, etablir un systeme d’equation portantsur les constantes Aj et Bj pour j " 1; 2; 3.4. A partir du systeme precedent, exprimer A1 et B1 en fonction de A3.5. On definit deux coefficients R et T de la maniere suivante :R =ªªªªªªªB1A1ªªªªªªª2et T =ªªªªªªªA3A1ªªªªªªª2.5.a. Interpreter ces deux coefficients ?5.b. Exprimer T en fonction de V0 ainsi que de la masse m et de l’energie Ede la particule.5.c. Determiner T dans l’approximation d’une 8 barriere epaisse 9 qa 9 1.5.d. Dans cette approximation, calculer T dans le cas d’un electron d’energieE = 1 eV, d’une barriere de longueur a = 1 ˚A et de hauteur V0 = 2E.— 14/14 —
