TD3
Page 1 : 2023/2024Semestre 1 – PréIng 2TD3 - Séries de fonctionsPartie I - Convergences et Théorèmes d’interversionExercice 1On considère la sériesXnNfn définie sur R+ par fnx = xenx2.1. Étudier les convergences simple et absolue de la série.2. Montrer que la série ne converge pas normalement sur R+.3. Soit a 0, montrer que la série converge normalement sur a, +.4. Étudier la convergence uniforme de la série sur R+. on pourra s’intéresser à Rn1n + 1Exercice 2Étudier les convergences simple, absolue, uniforme et normale des séries de fonctions suivantes, définie surl’ensemble E.1.Xn1fn avec fnx = 1n2 xn + 1 xn sur E = 0, 1.2.Xn1fn avec fnx =1n2 + x2 sur E = R.3.Xn1fn avec fnx = xenxn + x sur E = R+.4.Xn1fn avec fnx = 1nn + x2 sur E = R.5.Xn0fn avec fnx = nx2exn sur E = R+.Exercice 3On considère la série de fonctionsXn1fn définie sur R+ parfnx =11 + n2x2 .1. Déterminer le domaine de convergence de la série et montrer qu’elle converge uniformément sur toutintervalle a, + avec a 0.2. Calculerlimx→+Sx et limx→0+ Sx3. Question supplémentaire : Calculer limx→0+ xSx.Exercice 41. Déterminer le domaine de définition D de la fonction définie parf : x 7→+Xn=01n enxn2 + 1.2. Montrer que f est dérivable sur D \ 0.1
Page 2 : Exercice 5On considère la série de fonctionsXn1fn définie sur 0, 1 parfnx =0six = 0xn lnxnsix 0, 1.1. Montrer que la sérieXn1fn converge normalement sur 0, 1.2. En déduire queZ 10+Xn=1fnx dx = +Xn=11nn + 12 .3. Calculer la somme de cette série numériqueon admettra que+Xn=11n2 = π26.4. Montrer que pour tout x 0, 1,+Xn=1xn lnxn= lnx ln1 x.et que la fonction g : x 7→lnx ln1 x est prolongeable par continuité sur 0, 1.5. En déduire queZ 10lnx ln1 x dx = 2 π26 .Exercices SupplémentairesExercice 61.Xn1fn avec fnx = 1nx sur E = R.2.Xn1fn avec fnx = 1nnxsur E = R.3.Xn1fn avec fnx = ln1 + nxnxnsur E = R+.Exercice 7Montrer que la fonction f définie parfx =+Xn=01n enx2n + 13est dérivable sur R.Exercice 8Montrer que la fonction f définie parfx =+Xn=11nx + nest de classe Csur R+.2
Page 3 : Partie II - Séries EntièresExercice 9Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes :1.Xn1znn2.Xn0nnn! zn3.Xn01 + 1nnzn4.Xn02n3n + nz4n5.Xn0chnazn, a RExercice 10On considère la fonction f : R →R définie parfx =ex + e1x2six ̸= 01six = 01. Montrer que f est de classe Csur R.2. Calculer f n0 puis déterminer la série entière P anxn engendrée par f.3. La fonction f est-elle développable en série entière à l’origine?Exercice 11Calculer le développement en série entière au voisinage de 0 des fonctions suivantes en précisant le domainede validité du développement.1. f : x 7→ln1 + x 2x22. f : x 7→arcsinx3. f : x 7→x4x4 + x2 2Exercice 12Déterminer les fonctions solutions de l’équation différentielle suivante qui sont développables en série entièreen 0 :x21 xy′′ x1 + xy′ + y = 0Exercices SupplémentairesExercice 13Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes :1.Xn1znn22.Xn11nnnzn3.Xn0sinnθzn, θ R4.Xn0n 1nn + 1! znExercice 14Calculer le développement en série entière au voisinage de 0 des fonctions suivantes en précisant le domainede validité du développement.1. f : x 7→lnx2 2x + 12. f : x 7→chxexExercice 15On considère la fonction f définie sur 1, + parfx = 1 xα,α R.1. Déterminer une équation différentielle donc f est solution.2. Déterminer toutes les solutions développables en série entière en 0 de cette équation différentielle.3. La fonction f est-elle développable en série entière en 0 ? Si oui, quel est son développement ?3
