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Page 1 : 2024/2025Semestre 1 PréIng 2TD3 - Séries de fonctionsConvergences et Théorèmes d'interversionExercice 1On considère la sériesXnNfn dénie sur R+ par fnx = xenx2.1. Étudier les convergences simple et absolue de la série.2. Montrer que la série ne converge pas normalement sur R+.3. Soit a 0, montrer que la série converge normalement sur a, +.4. Étudier la convergence uniforme de la série sur R+. on pourra s'intéresser à Rn1n + 1Exercice 2Étudier les convergences simple, absolue, uniforme et normale des séries de fonctions suivantes, dénie surl'ensemble E.1.Xn1fn avec fnx = 1n2 xn + 1 xn sur E = 0, 1.2.Xn1fn avec fnx =1n2 + x2 sur E = R.3.Xn1fn avec fnx = xenxn + x sur E = R+.4.Xn1fn avec fnx = 1nn + x2 sur E = R.5.Xn0fn avec fnx = nx2exn sur E = R+.Exercice 3On considère la série de fonctionsXn1fn dénie sur R+ parfnx =11 + n2x2 .1. Déterminer le domaine de convergence de la série et montrer qu'elle converge uniformément sur toutintervalle a, + avec a 0.2. Calculerlimx→+Sx et limx→0+ Sx3. Question supplémentaire : Calculer limx→0+ xSx.Exercice 41. Déterminer le domaine de dénition D de la fonction dénie parf : x 7→+Xn=01n enxn2 + 1.2. Montrer que f est dérivable sur D \ 0.1
Page 2 : Exercice 5On considère la série de fonctionsXn1fn dénie sur 0, 1 parfnx =0six = 0xn lnxnsix 0, 1.1. Montrer que la sérieXn1fn converge normalement sur 0, 1.2. En déduire queZ 10+Xn=1fnx dx = +Xn=11nn + 12 .3. Calculer la somme de cette série numériqueon admettra que+Xn=11n2 = π26.4. Montrer que pour tout x 0, 1,+Xn=1xn lnxn= lnx ln1 x.et que la fonction g : x 7→lnx ln1 x est prolongeable par continuité sur 0, 1.5. En déduire queZ 10lnx ln1 x dx = 2 π26 .Exercices SupplémentairesExercice 61.Xn1fn avec fnx = 1nx sur E = R.2.Xn1fn avec fnx = 1nnxsur E = R.3.Xn1fn avec fnx = ln1 + nxnxnsur E = R+.Exercice 7Montrer que la fonction f dénie parfx =+Xn=01n enx2n + 13est dérivable sur R.Exercice 8Montrer que la fonction f dénie parfx =+Xn=11nx + nest de classe Csur R+.2
