TD4 Application lineaire
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Page 1 : Cycle Pr´e-ingenieurPremiere Ann´eeAgebre II - 2023/2024TD4: Application lin´eaireExercice 1Dans chacun des cas suivants, l’application f est-elle dans LR3?1. fx ; y ; z = x 2z ; 3z ; x + y + z2. fx ; y ; z = x + y ; z ; 1 + y + z3. fx ; y ; z = z + y ; xy ; xExercice 2Dans chacun des cas suivants, l’application φ est-elle lin´eaire?1. φ :R0;1→Rf7→f1 Z 10ft dt2. φ :R0;1→Rf7→Z 10f2t dt1. φ :RN→R3unn7→u0 ; u1 ; u22. φ : D→Df7→φf : x 7→fx + xf′xou D est l’ensemble des fonctions d´erivables sur R a valeurs dans R.3. φ : RX→RXP7→RPou RP est le reste de la division euclidienne du polynˆome P par X2 + 1.Exercice 3V´erifier que les applications suivantes sont lin´eaires et en d´eterminer le noyau et l’image.1. f :R2→R3x ; y7→4x ; y x ; 2x + y2. g :R3→R2x ; y ; z7→2x + y z ; x yExercice 4Soit f : R3 →R3 d´efinie par fx , y , z = 2x ; 2y ; 0.1. Montrer que f est lin´eaire.2. Est-elle surjective?3. D´eterminer Kerf et Imf.4. Montrer que R3 = Kerf Imf.1
Page 2 : Exercice 5Soit E un espace vectoriel et f et g deux endomorphismes de E.1. Montrer que: g ◦f = 0 ⇐⇒Imf Kerg.2. Montrer que Kerg ◦f = f1 Kerg Imf.3. Montrer que si f2 2f + IdE = 0 alors f est inversible. Exprimer alors f1 en fonctionde f et IdE.Exercice 6Soit n N, on d´efinit l’application f : RnX→Rn1XP7→PX + 1 PX .1. V´erifier que f est une application lin´eaire a valeurs dans Rn1X.2. D´eterminer Kerf et Imf.Exercice 7Pour chaque application, dire si elle est lin´eaire. Si oui, d´eterminer son noyau et son image,d´eduire si elle est injective, surjective, bijective.1. f : R3 →R2 donn´ee par fx, y, z = xy + x z, x.2. f : R3 →R3 donn´ee par fx, y, z = x + y + z, 2x + y, 2x + z.3. f : R3 →R3 donn´ee par fx, y, z = y z, z x, x y.4. f : R5X →R donn´ee par fP = P1.5. f : RnX →R3 donn´ee par fP = P1, P0, P1 pour n = 2 et n = 3.6. f : RX →RX donn´ee par fP = aP + P ′ ou a R.Exercice 9Soit E un espace vectoriel de dimension 3 dont une base est e1 ; e2 ; e3. On considere l’endomorphismef d´efini parfe1 = e2 + e3;fe2 = e3 + e1;fe3 = e1 + e2Soit x = x1e1 + x2e2 + x3e3.1. D´eterminer l’expression de fx dans la base e1 ; e2 ; e3.2. L’application f est elle un automorphisme de E?2
Page 3 : Exercice 10Soit E un espace vectoriel de dimension finie et F et G deux sous-espaces vectoriels de E. Onconsidere l’application d´efinie par:f :F × G→Ex; y7→x + y1. V´erifier que f est lin´eaire, en d´eterminer l’image et le noyau.2. Montrer que Kerf et F G sont isomorphes.3. Que donne alors le th´eoreme du rang?Exercice 11Soit E un espace vectoriel et f, g LE tels que f ◦g = g ◦f. Monter que Kerf et Imfsont stables par g.Exercice 12Dans R3, on considere F = Vect1 ; 0 ; 0 et G = Vect1 ; 1 ; 0 ; 1 ; 1 ; 1. Montrer qu’il existeune unique application f LE telle que :u F, fu = 2uetv G, fv = vD´eterminer cette application lin´eaire dans une base de votre choix puis dans la base canonique.3
