TD4 Applications lineaires
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Page 1 : Cycle Pre-INGPremiere AnneeAgebre II - 2021/2022TD : Applications lineairesExercice 1Dans chacun des cas suivants, montrer que f est lineaire puis determinerson noyau et son image.1. f : R2 →R, fx, y = 2x + y.2. f : R3 →R2, fx, y, z = x y, x + z.3. f : R3 →R3, fx, y, z = x + 2z, x + 4y + 10z, 2x + y + 7z.Exercice 2Soient e1, e2, e3, e4 la base canonique de R41. Demontrer qu”il existe un unique endomorphisme f de R4 telque :fe1 = 2e1+e3, fe2 = e2+e4, fe3 = e1+2e3, fe4 = e2e42. Determiner kerf et Imf.Exercice 3f:R2→R2x, y7→2x y, x + y1. f est-elle lineaire ?2. Prouver que f ◦f = 3f Id. En deduire que f est inversible etcalculer f 1.Exercice 4Soit E un espace vectoriel et f un endomorphisme de E, tel que f ◦f =0. Montrer que Imf kerf.Exercice 5Soit E un espace vectoriel, f et g deux endomorphismes de E, tels quef ◦g = g ◦f.On dit que F, sous-espace vectoriel de E, est stable par f si fF F,c’est-a-dire que pour x F, fx F.1. Montrer que kerf et Imf sont stables par g.2. Montrer que kerg et Img sont stables par f.
Page 2 : Exercice 6Soit n ⩾1 et f : RnX →RnX l’application defnie parfPX = PX + 1 PX1. Montrer que f est lineaire.2. Montrer que kerf = R0X l’ensemble des polynˆomes constants.3. Determiner Imf.Exercice 7On considere f l’endomorphisme de R3 defni parfe1 = e2,fe2 = e3,fe3 = e1ou e1, e2, e3 est la base canonique de R3.1. Montrer que f est bijective.2. Montrer que f 3 := f ◦f ◦f = Id.3. Demontrer que F = u R3 fu = u est un sous-espacevectoriel de R3.Exercice 8Soit B = e1, e2, e3 la base canonique de R3. Soit f : R3 →R3 l’appli-cation lineaire definie pour tout u = x; y; z R3 par :fu = 6x 4y 4z, 5x 3y 4z, x y1. Montrer qu’il existe un vecteur a R3 non nul, tel que kerf =V ecta.2. Soit b = e1 + e2 et c = e2 e3.a Calculer fb et fc.b Montrer que Imf = V ect4; 3; 1, 4; 4; 0.c En deduire que Imf = V ectb, c.3. Determiner une ou plusieurs equations caracterisant Imf.4. A-t-on kerf Imf = R3 ?Exercice 9Soit E un espace vectoriel. On appelle projecteur de E tout endomor-phisme f de E tel que f ◦f = f 2 = f.1. Montrer que, si f est un projecteur de E, alors kerf Imf =E.2. Montrer que pour f projecteur de E, on a : Imf = x E; ux = x.3. Soit f un endomorphisme quelconque de E.a Montrer que kerf kerf 2 et Imf 2 Imf.
Page 3 : b Montrer alors que :E = kerf + Imf ⇐⇒Imf 2 = Imfetkerf Imf = 0E ⇐⇒kerf = kerf 24. Soit f un endomorphisme de E tel que kerfImf = E. fest-ilun projecteur ? Justifer.Exercice 101. Soit E un espace vectoriel et f LE tel que f ◦f = Id. Onpose E1 = kerf Id et E2 = kerf + Id.Montrer que E1 E2 = E.2. Reciproquement, soient F et G deux sous-espaces vectoriels de Esupplementaires.Construire un endomorphisme u de E tel que F = keru Id,G = keru + Id et u ◦u = Id.
