TD4 Applications
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Page 1 : Cycle pré-ingénieur - Première AnnèeAlgèbre 1 - 2023/2024ApplicationsExercice 1. Déterminer, si c’est possible, fR+, fR, f1, f 1R+, f 1R, f 11 pour lesfonctions suivantes :a fx = exb fx = lnxA faire chez soic fx = cosxExercice 2. Soit f l’application de R dans R définie par fx = x2.1. Déterminer les ensembles suivants :a f3; 1b f2; 1c f3; 1 2; 1d f3; 1 2; 1.Les comparer.2. Mêmes questions pour les ensembles :a f 1 ; 2b f 11; +c f 1 ; 2 1; +d f 1 ; 2 1; +Exercice 3. Soit f l’application de R dans R définie par fx = minx2, 3. Déterminer les ensembles suivants :a fRb f0, 1c f1, 2d f2, +e f 10; 1f f 14; +Exercice 4. Les applications suivantes sont-elles injectives ? surjectives ? bijectives ?1. n 7→n + 1 de N dans N.2. x 7→x + 1x 1 de R \ 1 dans R.3. x; y 7→1; x y; y de R2 dans R3.4. x; y; z 7→x + y + z; x y z; x de R3 dans R3.5. x; y 7→x + y; xy de R2 dans R2.A faire chez soi7. n 7→n + 1 de Z dans Z.8. x; y 7→2y de R2 dans R.9. x; y 7→x; xy y3 de R2 dans R2.Exercice 5.Soitf1 :A1 = R \ 0→Rx7→1xf2 :A2 = R→Rx7→sinx.f3 :A3 = R→Rx7→x2 + x.1.a Tracer la courbe représentative de f11
Page 2 : b Dire si f1 est injective, surjective, bijective.c Si f1 n’est pas bijective, déterminer des ensembles E1 et F1 tels que la restriction de f1 à ces ensemblessoit une bijection.d Déterminer les ensembles f1A1, f10; 2, f 11 1, 1.2. Mêmes questions pour f2.3. Déterminer les plus grands ensemble de définition et l’expression des applications suivantes :f2 ◦f1etf1 ◦f2.A faire chez soi4.a Tracer la courbe représentative de f3b Dire si f3 est injective, surjective, bijective.c Si f3 n’est pas bijective, déterminer des ensembles E2 et F2 tels que la restriction de f3 à ces ensemblessoit une bijection.d Déterminer les ensembles f3A2, f30; 2, f 13 1, 1.e Déterminer les plus grands ensemble de définition et l’expression des applications suivantes :f3 ◦f1etf1 ◦f3.Exercice 6. Soit f : E →F l’application définie parfx = 1 + x + 1 x 2.1. On suppose que E = F = R.a Étant donné un réel x0, comparer fx0 et fx0. La fonction f est-elle injective ?b Donner les différentes expressions de f en supprimant les valeurs absolues. Représenter graphique-ment la fonction f.c Déterminer fR. La fonction f est-elle surjective ?2. On suppose que E = 1, + et F = R+. Donner l’expression de f et déterminer, si elle existe, l’applicationréciproque f 1 de F dans E.Exercice 7. On considère les applications f :N→Nn7→fn = 2netg :N→Nn7→gn = n2si n pairnsi n impair1. L’application f est-elle injective ? surjective ? bijective ?2. Mêmes questions pour g.3. Déterminer f ◦g et g ◦f.A faire chez soiExercice 8.1. Soit f l’application de R dans 1; 1 définie parfx = sinπx.L’application f est-elle injective, surjective, bijective ?2. On note g la restriction de f à12; 12. Montrer que g est une application bijective de12; 12sur 1; 1.Exercice 9. Soit f : R \ 2 →R \ 3 l’application définie par 3x + 1x 2 .1. Déterminer f0, 22, 4.2
Page 3 : 2. Déterminer f 10, 33, 4.3. Montrer que f est une bijection et déterminer sa réciproque.Exercice 10. On considère l’ensemble des être humains.1. À chaque individu on lui associe « sa mère ». Cela définit-il une application ?2. Si oui, est-elle injective, surjective, bijective ?3. Mêmes questions avec « sa sœur ».Exercice 11. Soit f : E →F une application, A et B deux parties de E, C et D deux parties de F. Montrerque :a fA B = fA fB.b f 1C D = f 1C f 1D.c fA f 1C = fA C.A faire chez soid fA B fA fB.e f 1C D = f 1C f 1D.Exercice 12. Soit f : E →F une application, A et B deux parties de E, C et D deux parties de F. Montrerque :1. A f 1fA.2. ff 1C = fE C.3. f est injective ⇐⇒A E, A = f 1fA.4. f est surjective ⇐⇒C F, ff 1C = C.Exercice 13. Soient f : E →F et g : F →G deux applications. Montrer les implications suivantes :1 g ◦f est surjective =⇒g est surjective.2 g ◦f est injective =⇒f est injective.3 g ◦f est surjective et g est injective =⇒f est surjective.4 g ◦f est injective et f est surjective =⇒g est injective.Exercice 14. Soit f : E →F, g : F →G, et h : G →E trois applications telles que h ◦g ◦f injective, g ◦f ◦hinjective et f ◦h ◦g surjective. Montrer que f, g et h sont bijectives.Exercice 15. Soit f : E →F une application. Montrer l’équivalence suivante :f est bijective⇐⇒A E, fAc = fAcA faire chez soiExercice 16. Soit f : E →F,g : F →G et h : G →H trois applications. Montrer que :g ◦f et h ◦g sont bijectives⇐⇒f, g et h sont bijectivesExercice 17. Soit f : E →F une application. Montrer l’implication suivante : Si f est surjective alors pourtout ensemble G et toutes applications g, h : F →G,g ◦f = h ◦f=⇒g = h3
Page 4 : Pour aller plus loinExercice 18. Soit A, B, C trois parties d’un ensemble E.1. Déterminer 1A\B en fonction de 1A et 1B.2. Déterminer 1AB en fonction de 1A et 1B.3. Quand est-il vrai que AB C = AB AC ?Exercice 19. Soit la fonction ff : C \ 0 →Cz 7→1z + z.1. L’application f est-elle injective, surjective, bijective ?2. Déterminer l’image par f du cercle unité centre 0 et rayon 1.3. Déterminer l’image réciproque par f de iR.4
