TD4 Correction
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Page 1 : Deuxieme Semestre 2021-2022CY TechTD Integration & ProbabilitesIntegrales Curviligne.Integration & Probabilites
Page 2 : Exercice 1On considere la forme differentielle de degre 1 definie par :ω = 2xy dx x2y 2 dysurU =x, y R2 : y 0.1. Montrer que ω est fermee sur U.2. Montrer de deux fa¸cons differentes que ω est exacte.3. CalculerZCω,ou C est une courbe C1 par morceaux d’origine A = 1, 2 etd’extremite B = 3, 8.Integration & Probabilites
Page 3 : Exercice 11. Montrer queω = 2xy dx x2y 2 dy,est fermee sur U.Solution : PosonsPx, y = 2xyetQx, y = x2y 2 .AlorsPy = 2xy 2etQx = 2xy 2=⇒Py = Qx .Par consequent, ω est fermee sur U.Integration & Probabilites
Page 4 : Exercice 12. Montrer de deux fa¸cons differentes que ω est exacte.Premiere fa¸con : Nous allons montrer que elle est exacte en calculant ses primitives,c’est-a-dire en recherchant une fonction f : U →R telle que :ω = df .Pour cela, on doit resoudre les equations :fx = 2xyetfy = x2y2 .La premiere equation donne :f x, y = x2y + gy=⇒fy= x2y2 + g′yA l’aide de la deuxieme equation on obtient :x2y2 + g′y = x2y2=⇒g′y = 0.Par consequent, g est constante. Une primitive de ω est donc donnee parf x, y =x2y ,d’ou on conclut que ω est exacte.Integration & Probabilites
Page 5 : Exercice 1Deuxieme fa¸con : D’apres le point precedent, la forme differentielle ωest fermee. De plus l’ouvert U est etoile. En effet, soit par exempleA = 0, 1, alors pour tout P U, le segment d’extremites A et P estentierement inclus dansU =x, y R2 : y 0.Le Theoreme de Poincare, nous permet ainsi de conclure que la formedifferentielle est exacte.Integration & Probabilites
Page 6 : Exercice 13. CalculerZCω,ou C est une courbe C1 par morceaux d’origine A = 1, 2 etd’extremite B = 3, 8.Solution : Puisque ω est exacte, de primitive f x, y = x2y , le calcul del’integrale :ZCω,ne depend pas du chemin choisi, mais uniquement des extremites. Ainsi :ZCω=f 3, 8 f 1, 2=98 12=58.Integration & Probabilites
Page 7 : Exercice 21. Soitω = x2dx + y 2dy.Calculer l’integrale de ω le long de tout cercle du plan parcouru unefois dans le sens trigonometrique.2. Soitω = y + zdx + z + xdy + x + ydzCalculer l’integrale de ω le long du cercle C de l’espace :x2 + y 2 + z2 = 1,x + y + z = 0.Integration & Probabilites
Page 8 : Exercice 21. Soitω = x2dx + y 2dy.Calculer l’integrale de ω le long de tout cercle du plan parcouru une fois dans lesens trigonometrique.Solution : Tout d’abord, notons que ω est une forme differentiel ferme declasse C1 sur R2. En effet, nous avons quex2y= 0 = y 2x .De plus R2 est etoile. Le Theoreme de Poincare, nous permet ainsi deconclure que la forme differentielle ω est exacte. Le calcul de l’integrale :ZCx2dx + y 2dy,depend donc uniquement des extremites de la courbe. Or, tout cercle est unecourbe fermee, c’est-a-dire l’origine et l’extremite sont egales. Par consequent,l’integrale de ω le long de tout cercle parcouru une fois dans le senstrigonometrique est nulle.Integration & Probabilites
Page 9 : Exercice 22. Soitω = y + zdx + z + xdy + x + ydzCalculer l’integrale de ω le long du cercle C de l’espace : x2 + y 2 + z2 = 1,x + y + z = 0.Solution : Tout d’abord, notons que ω est une forme differentiel ferme declasse C1. En effet, posonsPx, y, z = y + z;Qx, y, z = z + x;Rx, y, z = x + yalorsPy= 1 = Qx;Pz= 1 = RxetQz= 1 = Ry .De plus, le plan :x + y + z = 0.est un ouvert etoile mˆeme raisonnement que pour R2.Integration & Probabilites
Page 10 : Exercice 2Le Theoreme de Poincare, nous permet ainsi de conclure que la formedifferentielle ω est exacte. Le calcul de l’integrale :ZCy + zdx + z + xdy + x + ydz,depend donc uniquement des extremites de la courbe. Or, C est unecourbe fermee, et donc l’integrale curviligne de la forme differentielle ω lelong de ce cercle est nulle.Integration & Probabilites
Page 11 : Exercice 3Calculer l’integrale curviligne :ZΓy 2dx + x2dy,lorsque Γ est l’une des courbes suivantes :1. x2 + y 2 ay = 0.2.x2a2 + y 2b2 1 = 0.3.x2a2 + y 2b2 2xa 2yb = 0.Integration & Probabilites
Page 12 : Exercice 31.Γ = x, y : x2 + y 2 ay = 0.Solution : Nous devons commencer par parametrer la courbe Γ. Pourcela, il suffit de noter quex2 + y 2 ay = x2 +y a22a24Ce qui nous permet d’ecrirex2 + y 2 ay = 0⇐⇒x2 +y a22= a24Ainsi, Γ est le cercle de centre0, a2et de rayon a2. Nous pouvonsparametrer Γ a l’aide des coordonees polaires :x=a2 · cos ty a2=a2 · sin t=⇒dx=a2 · sin t dtdy=a2 · cos t dtIntegration & Probabilites
Page 13 : Exercice 3D’ouZΓy2dx + x2dy=Z 2π0a24 · sin t + 12 · a2 sin tdt + a24 · cos2 t a2 · cos tdt=a38Z 2π0sin t + 12 · sin t + cos2 t · cos tdt=a38Z 2π0sin2 t · sin t 2 sin2 t sin t + cos2 t · cos tdt=a38Z 2π02 sin2 t sin t 1 cos2 t sin t + 1 sin2 t cos tdt=a38Z 2π01 cos2t 2 sin t + cos2 t sin t + cos t sin2 t cos t dt=a38t + sin 2t2+ 2 cos t cos33+ sint sin3 t32π0=π a34 .Integration & Probabilites
Page 14 : Exercice 32.Γ =x, y : x2a2 + y 2b2 1 = 0.Solution : Commen¸cons par parametrer la courbe Γ. Pour cela, il suffitde noter quex2a2 + y 2b2 1 = 0⇐⇒x2a2 + y 2b2 = 1.Ainsi, Γ est l’ellipse de centre 0, 0 et demi grand axe et demi petit axeegale a a, b. Nous pouvons parametrer Γ a l’aide des coordonees polaires :x=a · cos ty=b · sin t=⇒dx=a · sin t dtdy=b · cos t dtIntegration & Probabilites
Page 15 : Exercice 3AinsiZΓy 2dx + x2dy=Z 2π0b2 · sin2 t · a sin tdt + a2 · cos2 t · b cos tdt=Z 2π0ab2 · sin2 t · sin t + a2b · cos2 t · cos tdt=Z 2π0ab2 · 1 cos2 t · sin t + a2b · 1 sin2 t · cos tdt=Z 2π0ab2sin t cos2 t sin t + a2bcos t sin2 t cos tdt=ab2cos t + cos3 t3+ a2bsin t sin3 t32π0=ab2 0 + 0 + a2b 0 0=0.Integration & Probabilites
Page 16 : Exercice 33.Γ =x, y : x2a2 + y 2b2 2xa 2yb = 0.Solution : Commen¸cons par parametrer la courbe Γ. Pour cela, il suffitde noter quex2a2 + y 2b2 2xa 2yb=xa 12+yb 122Ce qui nous permet d’ecrirex2a2 + y 2b2 2xa 2yb = 0⇐⇒xa 12+yb 12= 2.Ainsi, Γ est une ellipse de centre 1, 1. Nous pouvons parametrer Γ al’aide des coordonees polaires :xa 1=2 cos tyb 1=2 sin t=⇒ dx=a ·2 sin t dtdy=b ·2 cos t dtIntegration & Probabilites
Page 17 : Exercice 3D’ouZΓy2dx + x2dy=ZΓb2 sin t + 12a2 sin tdt + a2 cos t + 12b2 cos tdt=Z 2π0ab22 sin t2 sin t + 12 + a2b2 cos t2 cos t + 12 dt=Z 2π0ab22 sin t2 sin2 t + 22 sin t + 1+ a2b2 cos t2 cos2 t + 22 cos t + 1 dt=Z 2π0ab222 sin t · sin2 t + 22 sin2 t + sin t+ a2b22 cos t · cos2 t + 22 cos2 t + cos t dt=Z 2π0ab222 sin t · 1 cos2 t +21 cos 2t + sin t+ a2b22 cos t · 1 sin2 t +21 + cos 2t + cos t dt=Z 2π0ab223 sin t 2 sin t cos2 t +21 cos 2t+ a2b23 cos t 2 cos t sin2 t +21 + cos 2t dtIntegration & Probabilites
Page 18 : Exercice 3DoncZΓy2dx + x2dy=Z 2π0ab223 sin t 2 sin t cos2 t +21 cos 2t+ a2b23 cos t 2 cos t sin2 t +21 + cos 2t dt="ab223 cos t + 2 · cos3 t3+2t sin 2t2+ a2b23 sin t 2 · sin3 t3+2t + sin 2t2 2π0=4πaba b.Integration & Probabilites
Page 19 : Exercice 4Calculer l’integrale curviligne :ZΓxy 2 + ydx + x2dyou Γ est le chemin ACB avec :A = 1, 1;C = 2, 1;B = 2, 2.Solution : Nous avonsZΓxy 2 + ydx + x2dy =ZACxy 2 + ydx + x2dy +ZCBxy 2 + ydx + x2dyMaintenant, sur le segment AC la coordonee y est constant de valeur 1 :y = 1=⇒dy = 0.De mˆeme, sur le segment CB la coordonee x est constant de valeur 2 :x = 2=⇒dx = 0.Integration & Probabilites
Page 20 : Exercice 4AinsiZΓxy 2 + ydx + x2dy=ZACxy 2 + ydx + x2dy+ZCBxy 2 + ydx + x2dy=ZACxy 2 + ydx +ZCBx2dy=Z 21x · 12 + 1dx +Z 2122dy=x22 + x21+ 4y21=52 + 4=132 .Integration & Probabilites
Page 21 : Exercice 5Calculer de 2 fa¸cons differentes l’integrale double :Z Z2x3 ydxdy.ou=x, y R2 : x 0, y 0 etx2a2 + y2b2 1Solution :Premiere fa¸con : A l’aide du changement de variable :x=a · r cos θy=b · r sin θNous pouvons ecrireZ Z2x3 ydxdy=Zπ20Z 102a3r3 cos3 θ br sin θa · b · r drdθ=Zπ20Z 102a4br4 cos3 θ ab2r2 sin θdrdθ=Zπ202a4br5510cos3 θ ab2r3310sin θdθIntegration & Probabilites
Page 22 : Exercice 5AinsiZ Z2x3 ydxdy=Zπ202a4br 5510cos3 θ ab2r 3310sin θdθ=2a4b5Zπ20cos3 θ dθ ab23Zπ20sin θdθ=2a4b5Zπ20cos θ1 sin2 θdθ ab23cos θ π20=2a4b5 sin θ π20Zπ20sin2 θ cos θ dθ!ab23=2a4b5 1 sin33 π20!ab23=4a4b15ab23 .Integration & Probabilites
Page 23 : Exercice 5Deuxieme fa¸con : A l’aide de la formule de Green, nous pouvons ecrire :ZΓPx, ydx + Qx, ydy=Z ZQx x, y Py x, ydxdyou Γ est la frontiere orientee du domaine , c’est a dire :Γ = Γ1 Γ2 Γ3avecΓ1=x, 0 : 0 x aΓ2=x, y R2 : x 0, y 0 etx2a2 + y 2b2 = 1Γ3=0, y : 0 y b,etQx x, y = 2x3=⇒Qx, y = x42Py x, y = y=⇒Px, y = y 22 .Integration & Probabilites
Page 24 : Exercice 5AinsiZ Z2x3 ydxdy =ZΓy 22 dx + x42 dy.Par consequentZ Z2x3 ydxdy=ZΓy 22 dx + x42 dy=ZΓ1y 22 dx + x42 dy +ZΓ2y 22 dx + x42 dy+ZΓ3y 22 dx + x42 dyMaintenant, sur le segment Γ1 la coordonee y est constant de valeur 0 :y = 0=⇒dy = 0.AinsiZΓ1y 22 dx + x42 dy =ZΓ1022 dx + x42 0 = 0.Integration & Probabilites
Page 25 : Exercice 5De mˆeme, sur le segment Γ3 la coordonee x est constant de valeur 0 :x = 0=⇒dx = 0.AinsiZΓ3y 22 dx + x42 dy =ZΓ3x22 0 + 042 dy = 0.D’ouZ Z2x3 ydxdy=ZΓy 22 dx + x42 dy=ZΓ2y 22 dx + x42 dyPour calculer cette derniere integrale, parametrons Γ2 a l’aide des coordoneespolaires : x=a · cos ty=b · sin t=⇒ dx=a · sin tdy=b · cos tIntegration & Probabilites
Page 26 : Exercice 5AinsiZ Z2x3 ydxdy=ZΓ2y 22 dx + x42 dy=Zπ20b22 sin2 ta sin tdt + a42 cos4 tb cos tdt=ab22Zπ20sin3 t dt + a42 bZπ20cos5 t dt=ab22Zπ201 cos2 t sin t dt+ a42 bZπ201 sin2 t2 cos t dtMaintenantZπ201 cos2 t sin t dt=Zπ20sin t cos2 t sin t dt=cos t π20 cos3 t3 π20= 1 13 = 23.Integration & Probabilites
Page 27 : Exercice 5De plus, a l’aide du changement de variable :u = sin t=⇒du = costdt,nous pouvons ecrireZ1 sin2 t2 cos t dt=Z1 u22 du=Z1 2u2 + u4 du=u 2u33 + u55=sin t 2 · sin3 t3+ sin5 t5AinsiZπ201 sin2 t2 cos t = 1 23 + 15 =815Integration & Probabilites
Page 28 : Exercice 5Par consequentZ Z2x3 ydxdy=2ab24Zπ201 cos2 t sin t dt+ a42 bZπ201 sin2 t2 cos t dt=4a4b15ab23 .Integration & Probabilites
Page 29 : Exercice 6Calculer l’integrale curviligne :ZΓxdy x lnx + 1dx.sur la courbe :Γ =x, y R2 : 0 x 1ety = x 1 lnx + 1.Solution : Tout d’abord, notons que sur Γ nous avons :y = x 1 lnx + 1=⇒dy =lnx + 1 + x 1x + 1dx.Ainsixdy x lnx + 1dx=xlnx + 1 + x 1x + 1x lnx + 1dx=x · x 1x + 1dx.Par consequentZΓxdy x lnx + 1dx=Z 10x · x 1x + 1dx.Integration & Probabilites
Page 30 : Exercice 6En utilisant le changement de variable :x = u=⇒x = u2=⇒dx = 2udu.Nous pouvons ecrireZΓxdy x lnx + 1dx=Z 10x · x 1x + 1 dx=Z 10u · u2 1u2 + 1 · 2u du=2Z 10u2 · u2 + 1 1 1u2 + 1du=2Z 10u2 · u2 + 1 2u2 + 1du=2Z 10u2 2 ·u2u2 + 1 du=2Z 10u2 2 · u2 + 1 1u2 + 1du=2Z 10u2 2 + 2 ·1u2 + 1 du=2u33 2u + 2 arctanu10Integration & Probabilites
Page 31 : Exercice 6D’ouZΓxdy x lnx + 1dx=2u33 2u + 2 arctanu10=23 4 + 4 arctan1=4 · π4 103=π 103 .Integration & Probabilites
Page 32 : Exercice 6Calculer l’integrale curviligne I le long de la boucle fermee constituee par les deux arcsde parabole y = x2 et x = y2 decrite dans le sens direct.I =ZΓ2xy x2dx + x + y2dyVerifier le resultat en utilisant la formule de Green-Riemann.Solution : Tout d’abord notons que les courbes se coupent aux point d’abscisses 0 et1. AinsiZΓ2xy x2dx + x + y2dy=ZΓ12xy x2dx + x + y2dy+ZΓ22xy x2dx + x + y2dyouΓ1=x, y : 0 x 1ety = x2Γ2=x, y : 0 y 1etx = y2.Maintenant, sur Γ1 nous avons :y = x2=⇒dy = 2xdx.AinsiZΓ12xy x2dx + x + y2dy=Z 102x · x2 x2dx + x + x222xdx.Integration & Probabilites
Page 33 : Exercice 6D’ouZΓ12xy x2dx + x + y2dy=Z 102x · x2 x2dx + x + x222xdx=Z 10x2 + 2x3 + 2x5 dx=x33 + 2 x44 + 2 x6610=13 + 12 + 13 = 76 .Maintenant, sur Γ2 nous avons :x = y2=⇒dx = 2ydy.AinsiZΓ22xy x2dx + x + y2dy=Z 012y2y y222ydy + y2 + y2dy=Z 012y2 + 4y4 2y5 dy=2 y33 + 4 y55 2 y6601=23 45 + 26 = 1715 .Integration & Probabilites
Page 34 : Exercice 6Par consequentZΓ2xy x2dx + x + y2dy=ZΓ12xy x2dx + x + y2dy+ZΓ22xy x2dx + x + y2dy=76 1715 =130 .Finalement, a l’aide de la formule de Green-Riemann nous pouvons ecrire :ZΓ2xy x2dx + x + y2dy=Z ZDx + y2x2xy x2ydxdy,ouD=x, y R2 : 0 x 1etx2 y xAinsiZΓ2xy x2dx + x + y2dy=Z 10Z xx21 2x dydx=Z 101 2xyxx2 dx=Z 10x 2xx x2 + 2x3dx.Integration & Probabilites
Page 35 : Exercice 6D’ouZΓ2xy x2dx + x + y 2dy=Z 10x 2xx x2 + 2x3dx="2x323 4x525 x33 + 2x4410=23 45 13 + 12=130Integration & Probabilites
Page 36 : Exercice 6Calculer l’integrale :Z ZDx2 y2dxdyou D est le domaine du plan defini par :D =x, y R2 : x 0, y 0etx2 + y2 R2.Solution : Utilisons la formule de Green-Riemann. Pour cela, posonsx2 = Qx x, y=⇒Qx, y =x33y2 = Py x, y=⇒Px, y =y33 .AinsiZ ZDx2 y2dxdy =ZΓy33 dx + x33 dy.ou Γ est la frontiere orientee du domaine D, c’est a dire :Γ = Γ1 Γ2 Γ3avecΓ1=x, 0 : 0 x RΓ2=x, y R2 : x 0, y 0 et x2 + y2 = R2Γ3=0, y : 0 y R.Integration & Probabilites
Page 37 : Exercice 6Par consequentZ ZDx2 y2dxdy=ZΓy33 dx + x33 dy=ZΓ1y33 dx + x33 dy +ZΓ2y33 dx + x33 dy +ZΓ3y33 dx + x33 dyMaintenant, sur le segment Γ1 la coordonee y est constant de valeur 0 :y = 0=⇒dy = 0.AinsiZΓ1y33 dx + x33 dy =ZΓ1033 dx + x33 0 = 0.De mˆeme, sur le segment Γ3 la coordonee x est constant de valeur 0 :x = 0=⇒dx = 0.AinsiZΓ3y33 dx + x33 dy =ZΓ3y33 0 + 033 dy = 0.Integration & Probabilites
Page 38 : Exercice 6D’ouZ ZDx2 y2dxdy=ZΓy33 dx + x33 dy=ZΓ2y33 dx + x33 dyPour calculer cette derniere integrale, parametrons Γ2 a l’aide des coordonees polaires : x=R · cos ty=R · sin t=⇒ dx=R · sin t dtdy=R · cos t dtAinsiZ ZDx2 y2dxdy=ZΓ2y33 dx + x33 dy=Zπ20R33 sin3 tR sin tdt + R33 cos3 tR cos tdt=R43Zπ20cos4 t sin4 tdt=R43Zπ20cos2 t sin2 t cos2 t + sin2 tdt=R43Zπ20cos2 t sin2 tdt.Integration & Probabilites
Page 39 : Exercice 6D’ouZ ZDx2 y 2dxdy=R43Zπ20cos2 t sin2 tdt=R43Zπ20cos2tdt=R43sin2t2 π20=0.Integration & Probabilites
Page 40 : Exercice 7Soit D l’ensemble des elements x, y de R2, tels que :0 x 1, 0 y 1etx2 + y2 1.Calculer l’integrale suivante en utilisant la formule de Green-Riemann :I =Z ZDxy1 + x2 + y22 dxdy.Solution : Utilisons la formule de Green-Riemann. Pour cela, posonsQx, y = 0Py x, y = xy1 + x2 + y22=⇒Px, y =x2 1 + x2 + y2 .Ainsi, la formule de Green-Riemann nous permet d’ecrire :Z ZDxy1 + x2 + y22 dxdy =ZΓx2 1 + x2 + y2 dx + 0 · dy.ou Γ est la frontiere orientee du domaine D, c’est a dire :Γ = Γ1 Γ2 Γ3avecΓ1=1, y : 0 y 1Γ2=x, 1 : 0 x 1Γ3=x, y R2 : x 0, y 0 et x2 + y2 = 1.Integration & Probabilites
Page 41 : Exercice 7Par consequentZ ZDxy1 + x2 + y22 dxdy=ZΓx2 1 + x2 + y2 dx=ZΓ1x2 1 + x2 + y2 dx +ZΓ2x2 1 + x2 + y2 dx+ZΓ3x2 1 + x2 + y2 dx.Maintenant, sur le segment Γ1 la coordonee x est constant de valeur 1 :x = 1=⇒dx = 0.AinsiZΓ1x2 1 + x2 + y2 dx =ZΓ112 1 + 12 + y2 0 = 0.De mˆeme, sur le segment Γ2 la coordonee y est constant de valeur 1. AinsiZΓ2x2 1 + x2 + y2 dx=Z 01x2 2 + x2 dx=14 ln2 + x201=14 ln2 ln3 = 14 ln 23.Integration & Probabilites
Page 42 : Exercice 7Pour calculer l’integrale sur Γ3, parametrons Γ3 a l’aide des coordoneespolaires : x=cos ty=sin t=⇒ dx=sin t dtdy=cos t dtAinsiZΓ3x2 1 + x2 + y 2dx=Z 0π2cos t21 + cos2 t + sin2 tsin t dt=14Z 0π2cos t · sin t dt=14Zπ20sin t · cos t dt=14sin2 t2 π20=18.Integration & Probabilites
Page 43 : Exercice 7FinalementZ ZDxy1 + x2 + y 22 dxdy=ZΓ1x2 1 + x2 + y 2dx +ZΓ2x2 1 + x2 + y 2dx+ZΓ3x2 1 + x2 + y 2dx=14 ln23+ 0 + 18.Integration & Probabilites
Page 44 : Exercice 8On considere la forme differentielleω = yx2 + y 2 dx +xx2 + y 2 dy.1. Dans quel domaine cette forme differentielle est-elle definie ?2. Calculer l’integrale curviligneZCyx2 + y 2 dx +xx2 + y 2 dyou C est le cercle de centre O et de rayon 1, parcouru dans le sens direct.3. La forme ω est-elle exacte ?Solution :1. Dans quel domaine cette forme differentielle est-elle definie ?Nous avonsx2 + y 2 = 0⇐⇒x = y = 0.Alors ω = yx2+y2 dx +xx2+y2 dy, est definie surR2 \ 0.Integration & Probabilites
Page 45 : Exercice 82. Calculer l’integrale curviligneZCyx2 + y 2 dx +xx2 + y 2 dyou C est le cercle de centre O et de rayon 1, parcouru dans le sens direct.Solution : Pour calculer cette integrale, parametrons C a l’aide des coordoneespolaires : x=cos ty=sin t=⇒ dx=sin t dtdy=cos t dtAinsiZCyx2 + y 2 dx +xx2 + y 2 dy=Z 2π0sin t · sin t dtsin2 t + cos2 t+ cos t · cos t dtsin2 t + cos2 t=Z 2π0sin2 t + cos2 t dt=Z 2π01 dt=2π.Integration & Probabilites
Page 46 : Exercice 83. La forme ω est-elle exacte ?Solution : La forme ω n’est pas exacte. En effet, si ω est exacte alors saintegrale curviligne sur la courbe ferme C serait nulle. Or dans l’exercicepreceedent, on a trouve :ZCyx2 + y 2 dx +xx2 + y 2 dy = 2π.Remarquons cependant quexxx2 + y 2=y 2 x2x2 + y 22=yyx2 + y 2.C’est-a-dire, ω est une forme differentielle fermee. En fait, avec cet exemple, onvoit que dans le Theoreme de Poincare, l’hypothese que l’ouvert doit ˆetreetoile, est indispensable. IciR2 \ 0, 0n’est pas etoile, c’est un domaine troue.Integration & Probabilites
Page 47 : Exercice 9Determiner si les formes differentielles suivantes sont fermees, exactesdans ce cas, donner une primitive :1. ω = x2 + 3ydx + y 3dy2. ω = xydx zdy + xzdz.3. ω = x3dx + y 3dy + z3dz.Avant de donner la reponse a l’exercice, rappelons que si ω est une formedifferentielle definie sur un domaine etoile, alors nous avonsω est exacte⇐⇒ω est fermeeIntegration & Probabilites
Page 48 : Exercice 91. ω = x2 + 3ydx + y 3dy.Solution : Nous avonsx2 + 3yy= 3ety 3x= 0Doncx2 + 3yy̸= y 3x.Par consequent, ω n’est pas fermee. Maintenant, nous savons queω est exacte=⇒ω est fermee.Alors par contraposeeω n’est pas fermee=⇒ω n’est pas exacte.Ainsi, comme ω n’est pas fermee nous pouvons donc conclure queω n’est pas exacte.Integration & Probabilites
Page 49 : Exercice 92. ω = xydx zdy + xzdz.Solution : Nous avonsxyz= 0etxzx= zDoncxyz̸= xzx.Par consequent, ω n’est pas fermee. Maintenant, nous savons queω est exacte=⇒ω est fermee.Alors par contraposeeω n’est pas fermee=⇒ω n’est pas exacte.Ainsi, comme ω n’est pas fermee nous pouvons donc conclure queω n’est pas exacte.Integration & Probabilites
Page 50 : Exercice 93. ω = x3dx + y 3dy + z3dz.Solution : Nous avonsx3z= 0 = z3xety 3x= 0 = x3y .De plusz3y= 0 = y 3z .Ainsi, ω est fermee. Maintenant, notons que le domaine de definition deω = x3dx + y 3dy + z3dzest R3. Or R3 est etoile, comme ω est fermee nous pouvons doncconclure queω est exacte.Integration & Probabilites
Page 51 : Exercice 9Maintenant, rappelons que par definition, une forme differentielleω = A1x, y, zdx + A2x, y, zdy + A3x, y, zdzdefinie sur U, est dite exacte sur U ssi il existe une fonction F : U →R declasse C1 telle que :Fx = A1x, y, z;Fy = A2x, y, z;Fz = A3x, y, z.Donc on cherche une fonction F de classe C1 telle que :Fx= x3=⇒F = x44 + hy, zFy= y 3=⇒yx44 + hy, z= y 3=⇒hy, z = y 44 + gzFz= z3=⇒zx44 + y 44 + gz= z3=⇒gz = z44 + cte.Par consequent, une primitive de ω est donee parF = x44 + y 44 + z44 .Integration & Probabilites
Page 52 : Exercice 10On considere ω la forme differentielle deffinie sur R2 parω = x2 + y 2 a2dx 2aydy,ou a R×.1. Prouver que la forme differentielle n’est pas exacte.2. Soit f une fonction de classe C1 de R dans R. On poseαx, y = f xωx, y.Quelle condition doit veriffieer la fonction f pour que la formedifferentielle α soit exacte ? Cette condition est-elle suffisante ?Determiner une fonction f veriffiant la condition precedente.3. Calculer une primitive de α sur R2.4. Soit Γ le cercle de rayon R et de centre 0, 0. DeterminerZΓα.Integration & Probabilites
Page 53 : Exercice 101. Prouver que la forme differentielle n’est pas exacte.Solution : Pour prouver que la forme differentielleω = x2 + y 2 a2dx 2aydy,n’est pas exacte, il suffit de verifier que ω n’est pas fermee. Pour cela, oncalculey x2 + y 2 a2 = 2yetx 2ay = 0.Doncyx2 + y 2 a2̸=x 2ay .Ainsi, ω n’est pas fermee. Ce qui implique que ω n’est pas exacte.Integration & Probabilites
Page 54 : Exercice 102. Soit f une fonction de classe C1 de R dans R. On poseαx, y = f xωx, y.Quelle condition doit veriffieer la fonction f pour que la forme differentielle α soitexacte ? Cette condition est-elle suffisante ? Determiner une fonction f veriffiant lacondition precedente.Solution : Tout d’abord, comme f est une fonction de classe C1 de R dans R, nousavons queαx, y = f xωx, y,est une forme differentielle de classe C1 definit sur R2. Or R2 est etoile, par consequentα est exacte⇐⇒α est fermee⇐⇒yf xx2 + y2 a2=x f x2ay⇐⇒2yf x = 2ayf ′x.Ainsiαx, y = f xωx, y est exacte⇐⇒f ′x = f xa⇐⇒f x = exa + cte.Nous pouvons donc prendre f x = exa .Integration & Probabilites
Page 55 : Exercice 103. Calculer une primitive de α sur R2.Solution : Soit Fx, y une primitive deα = exa x2 + y2 a2dx exa 2aydy,alorsFx= exa x2 + y2 a2etFy= 2ayexa .La deuxieme equation donne :Fx, y = ay2exa + hx.En utilisant la premiere equation on conclut :Fx=xay2exa + hx=y2exa + h′x=exa x2 + y2 a2D’ou on deduit :h′x = exa x2 a2En integrant a vous de le faire, on trouve hx = ax2 2a2x a3exa + cte.D’ou :Fx, y = ax2 2a2x ayexaa3exa + cte.Integration & Probabilites
Page 56 : Exercice 104. Soit Γ le cercle de rayon R et de centre 0, 0. DeterminerZΓα.Solution : La forme differentielle est exacte, et on integre sur une courbefermee, l’integrale curviligne de α le long de Γ est donc 0.Integration & Probabilites
Page 57 : Exercice 11En utilisant la formule de Green, calculer :1. l’aire de l’ellipse :x2a2+ y2b2 1.2. l’aire du domaine delimite par les axes Ox, Oy et la courbe parametree parx = a cos3 t, y = a sin3 t,t h0, π2i.Solution :1. Posons D =nx, y R2 :x2a2 + y2b2 1o. Nous voulons calculerAire de D =Z ZD1 dxdyen utilisant la formule de Green-Riemann. Pour cela, notons queZ ZD1 dxdy =Z ZD12 12dxdy.Ainsi, si on pose12 = Qx x, y=⇒Qx, y =x2 + cte12 = Py x, y=⇒Px, y = y2 + cteIntegration & Probabilites
Page 58 : Exercice 11la formule de Green-Riemann nous permet, en choisissant Px, y = y2 etQx, y = x2 , d’ecrire :Z ZD1 dxdy =ZΓy2 dx + x2 dyou Γ est la frontiere orientee du domaine D, c’est a dire :Γ =nx, y R2 :x2a2 + y2b2 = 1o.Pour calculer cette derniere integrale, parametrons Γ a l’aide des coordonees polaires : x=a · cos ty=b · sin t=⇒ dx=a · sin t dtdy=b · cos t dtAinsiAire de D=Z ZD1dxdy=12ZΓydx + xdy=12Z 2π0b sinta sintdt + a costb costdt=12Z 2π0absin2t + cos2tdt=12Z 2π0ab dt = πab.Integration & Probabilites
Page 59 : Exercice 112. Notons par D le domaine delimite par les axes Ox, Oy et la courbeparametree parx = a cos3 t, y = a sin3 t,t h0, π2i.En utilisant la formule de Green-Riemman, nous avonsAire de D=Z ZD1dxdy=12ZΓydx + xdy.ou Γ est la frontiere orientee du domaine D, c’est a dire :Γ = Γ1 Γ2 Γ3avecΓ1=nx, y R2 : x = a cos3 t, y = a sin3 t, t h0, π2ioΓ2=x, 0 : 0 x aΓ3=0, y : 0 y a.Integration & Probabilites
Page 60 : Exercice 11Par consequentZ ZD1 dxdy=12ZΓydx + xdy=12ZΓ1ydx + xdy + 12ZΓ2ydx + xdy+ 12ZΓ3ydx + xdy.Maintenant, sur le segment Γ2 la coordonee y est constant de valeur 0 :y = 0=⇒dy = 0.AinsiZΓ2ydx + xdy =ZΓ20dx + x0 = 0.De mˆeme, sur le segment Γ3 la coordonee x est constant de valeur 0 :x = 0=⇒dx = 0.AinsiZΓ3ydx + xdy =ZΓ3y0 + 0dy = 0.Integration & Probabilites
Page 61 : Exercice 11Par consequentZ ZD1dxdy=12ZΓ1ydx + xdy=12Zπ20a sin3 t3a sin t cos2 t + a cos3 t3a cos t sin2 t dt=3a22Zπ20sin4 t cos2 t + cos4 t sin2 t dt=3a22Zπ20cos2 t sin2 tcos2 t + sin2 tdt=3a22Zπ20cos2 t sin2 t dt=3a22Zπ20 sin2t22dt=3a28Zπ201 cos2t2 dt=3a28Zπ201 1 + cos4t2dt=3a216Zπ201 cos4tdt.Integration & Probabilites
Page 62 : Exercice 11Par consequentAire de D=3a216Zπ201 cos4tdt=3a2π32Integration & Probabilites
Page 63 : Exercice 121. Calculer l’integrale de la forme differentielleω =eyx2 + y 2 x sin x y cos xdx + x cos x + y sin xdyle long du contour oriente dans le sens direct :Γ = Γ1 Γ2 Γ3 Γ4,avecΓ1=x, 0 : r x RΓ2=x, y R2 : y 0, x2 + y 2 = r 2Γ3=x, 0 : R x rΓ4=x, y R2 : y 0, x2 + y 2 = R2.2. En deduireZ Rrsin xxdx en fonction d’une autre integrale.3. En faisant tendre r vers 0 et R vers +, determiner la valeur deZ +0sin xxdx.Integration & Probabilites
Page 64 : Exercice 121. Avant de calculer l’integraleRΓ ω, etudions la forme differentielle ω. Tout d’abordω est de classe C1 sur R2 \ 0, 0.Ainsi, d’apres le Theoreme de Poincare, sur tout ouvert etoile Ωcontenu dansR2 \ 0, 0, nous avonsω est exacte⇐⇒ω est fermee.PosonsPx, y =eyx2 + y2 x sin x y cos xetQx, y =eyx2 + y2 x cos x + y sin x.AlorsQx x, y=2xeyx2 + y2 x cos x + y sin x +eyx2 + y2 x sin x + cos x + y cos x=eyx2 + y222xx cos x + y sin x+ x2 + y2x sin x + cos x + y cos x=eyx2 + y22x2 + y2 + x2y + y3 cos x + 2xy x3 xy2 sin x.Integration & Probabilites
Page 65 : Exercice 12De mˆemePy x, y=2yeyx2 + y2 x sin x y cos x +eyx2 + y2 x sin x y cos x cos x=eyx2 + y22x2 + y2x sin x y cos x 2yx sin x y cos xx2 + y2 cos x=eyx2 + y22x2 + y2 + x2y + y3 cos x + 2xy x3 xy2 sin x.Ainsi,Qx x, y =Py x, y.Par consequent, ω est fermee. Ce qui implique que la forme differentielle ω est exactesur tout ouvert etoile Ωcontenu dans R2 \ 0, 0. On choisitΩ= R2 \ 0, y, y 0.Il est claire que Ωest un ouvert etoile en tout point de la forme 0, y, y 0. De plus,Ωcontient le contour Γ. Finalement, comme ω est exacte sur Ωet Γ est une courbefermee, on conclutZΓω = 0.Integration & Probabilites
Page 66 : Exercice 122. En deduireR Rrsin xx dx en fonction d’une autre integrale.Solution : D’apres la question precedente, nous avons0=ZΓω=ZΓ1ω +ZΓ2ω +ZΓ3ω +ZΓ4ω.avecΓ1=t, 0 : r t R,Γ2=R cos t, R sin t : 0 t π,Γ3=t, 0 : R t r,Γ4=r cos t, r sin t : 0 t π.Maintenant, sur le segment Γ1, la coordonee y est constant de valeur 0 :y = 0=⇒dy = 0.AinsiZΓ2ω=ZΓ2eyx2 + y2 x sin x y cos xdx + x cos x + y sin xdy=Z Rre0t2 + 02 t sin t 0 cos tdt + t cos t + 0 sin td0 =Z Rrsin ttdt.Integration & Probabilites
Page 67 : Exercice 12De mˆeme, sur le segment Γ3, nous avonsZΓ3ω=Z rRsin ttdt.Ainsi, a l’aide du changement de variableu = t=⇒du = dt,nous pouvons ecrireZΓ3ω=Z rRsin ttdt=Z rRsin uudu=Z rRsin uudu=Z Rrsin uudu.Par consequent,0=ZΓ1ω +ZΓ2ω +ZΓ3ω +ZΓ4ω=2Z Rrsin ttdt +ZΓ2ω +ZΓ4ωIntegration & Probabilites
Page 68 : Exercice 12D’ou on obtientZ Rrsin ttdt = 12ZΓ2ω +ZΓ4ω.MaintenantZΓ2ω=ZΓ2eyx2 + y2 x sin x y cos xdx + x cos x + y sin xdy=Z π0eR sin tR2R cos t sin r cos t R sin t cos R cos tR sin t dt+R cos t sin r cos t + R sin t cos R cos tR cos t dt=Z π0eR sin tsin2 t cos R cos t + cos2 t cos R cos t dt=Z π0eR sin tsin2 + cos2 t cos R cos t dt=Z π0eR sin t cos R cos t dtDe mˆemeZΓ4ω=Z 0πer sin t cos r cos t dt=Z π0er sin t cos r cos t dt.Integration & Probabilites
Page 69 : Exercice 12Ainsi, pour tout r, R R+, nous avonsZ Rrsin ttdt=12ZΓ2ω +ZΓ4ω=12 Z π0er sin t cos r cos t dtZ π0eR sin t cos R cos t dtIntegration & Probabilites
Page 70 : Exercice 123. En faisant tendre r vers 0 et R vers +, determiner la valeur deR +0sin xx dx.Solution : Etudions d’abord la limitelimR→+Z π0eR sin t cos R cos t dt.Pour tout R 0, nous avonsZ π0eR sin t cos R cos t dtZ π0eR sin t cos R cos t dtZ π0eR sin tdt2Zπ20eR sin tdt2Zπ20eR 2tπ dt =πR1 e2RπR .Integration & Probabilites
Page 71 : Exercice 12Par consequentlimR→+Z π0eR sin t cos R cos t dtlimR→+πR=0DonclimR→+Z π0eR sin t cos R cos t dt = 0.D’ou on conclut quer 0,Z +rsin ttdt=12Z π0er sin t cos r cos t dt.Integration & Probabilites
Page 72 : Exercice 12Etudions a presesent la limitelimr→0Z π0er sin t cos r cos t dt.Pour cela, notons que la fonctionf : 0, +×0, π→Rr, t7→er sin t cos r cos tsatisfait les proprietes suivants :Pour tout r 0, +, la fonction t 7→f r, t est continue par morceaux sur0, π.Pour tout t 0, π, la fonction r 7→f r, t est continue par morceaux sur0, +.Pour tout coupl r, t 0, +×0, π, nous avons Fr, t 1.Ainsi, d’apres le Theoreme de continuite des integrales a parametres, la fonctionr 7→Z π0er sin t cos r cos t dtest continue sur 0, +. Par consequentlimr→0Z π0er sin t cos r cos t dt=Z π0limr→0 er sin t cos r cos t dt.Integration & Probabilites
Page 73 : Exercice 12Ce qui nous permets d’ecrireZ +0sin ttdt=limr→0Z +rsin ttdt=limr→012Z π0er sin t cos r cos t dt=12Z π0limr→0 er sin t cos r cos t dt=12Z π0e0·sin t cos 0 · cos t dt=12Z π0e0 cos 0 dt=12Z π01 dt=π2 .Integration & Probabilites
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