TD4 Equations Differentielles 2
Télécharger le TD4 Equations Differentielles 2 en pdf
Page 1 : Departement de MathematiquesPreING1-Analyse2021 - 2022TD 7 - Equation differentielleEquation differentielle d’ordre 1Exercice 1. -Donner une equation differentielle dont la fonction f est une solution.1. fx =ex1+ex .2. fx = 1 +ex1+x2 .3. fx =c1+ex ;ouc R.4. fx =ax1+x2 ;oua R.Exercice 2. -Resoudre les equations differentielles. Preciser le domaine de validite des solutions :1. y′ = 2y,2. y′ = ty,3. t2y′ = y,4. y′ =y1 + t2 .5. y′ =y1 t2 .6. yy′ = t.7. y′ = ety.8. 1 + t2y′ = 1 + y2.9. 1 + t2y′ = 1 + y2t310. y′ = ey tan t.Exercice 3. -Resoudre les equations differentielles :1. x3y′ = xy2 + x2y + 2y3,2. x2y′ = xy 5y2,3. xy′ = y + x cosyx,4. xyy′ = x2 xy + y2.Equation differentielle lineaire d’ordre 1Exercice 4. -Resoudre les equations differentielles, par la methode de variation de la constante. Preciser ledomaine de validite des solutions :1. y′ = 2ty + t2. y′ = y tan t + cos t sin t3. y′ = yt2 1 + t24. y′ = yt 15. y′ = yt2 1t36. y′ = yt2 + exp1t 7. y′ = 2ty 2t 1et8. y′ cos t + y sin t = cos t + t sin t1
Page 2 : 9. y′ = 2t 1t2 1 y + 110. et 1y′ + et + 1y = 3 + 2etExercice 5. -Resoudre les problemes de Cauchy suivants :1. xy′ y = x;ety1 = 12. y′ + x2y + x2 = 0;ety0 = 03. y′ y = cos x+ex sin 2x;ety0 = 04. x 1y′ + y = x;ety2 = 25. 4y′ y = cos x;ety0 = 06. y′ y = sinh x;ety0 = 17. y′ y cos t = 2 cos t sin2 t cos t;ety0 = 18. tt 1y′ 3t 1y = t2t + 1;ety2 = 09. exy′ + y = 0;ety0 = 1Equation differentielle non-lineaire d’ordre 1Exercice 6. -Resoudre les equations differentielles :1. x3y′ = x2y + y2 x22. y′ = y2 1x23. y′ y + xy3 = 04. y′ y + xy4 = 05. xy′ y + x4y3 = 06. xy′ 34y = 9x 3y5Exercice 7. -Resoudre les problemes de Cauchy suivants :1. y′ + yx y2 + 1x2 = 0;ety1 = 22. 1 + x2y′ = y2 1;ety0 = 23. xy′ = y2 3xy 1;ety3 = 94. xy′ = y + xy3;ety1 =13Equation differentielle lineaire d’ordre 2Exercice 8. -Resoudre les equations differentielles :1. y′′ 6y′ + 9y = 02. y′′ 2y′ + 2y = 03. y′′ + 4y = 0;4. y′′ 6y′ + 10y = 05. y′′ + 5y′ + 6y = 06. y′′ + 4y′ 16y = 07. y′′ y = t3 + t28. y′′ + 2y′ + y = et9. y′′ + 2y′ + y = et + cos t10. y′′ + 2y′ + 4y = t2et2
Page 3 : 11. y′′ 2y′ + 2y = tet cos t12. y′′ y = 6 cos t + 2t sin t13. y′′ 2y′ + y = et sin t14. y′′ + 3y′ + 2y = e2tt + 115. y′′ 3y′ + 2y = ett2 + 116. y′′ + y′ 6y = et2t + 1Exercice 9. -Resoudre les problemes de Cauchy suivants :1. y′′ y′ 2y = 0;ety0 = 1, y′0 = 52. y′′ + 4y′ + 3y = 0;ety0 = 2, y′0 = 03. y′′ + 4y′ + 4y = 0;ety0 = 1, y′0 = 14. y′′ + 10y′ + 25y = t3;ety0 = 1, y′0 = 1Exercice 10. -Changement des variables ou Reduction de l’ordre d’une equation differentielle.Resoudre les equations differentielles :1. y′′′ y′′ 2y′ = 02. y′′′′ + 4y′′′ + 3y′′ = 03. t2y′′ + 3ty′ + y = 04. t2y′′ + ty′ + y = 0ApplicationsExercice 11.Resoudre les systemes differentiels lineaires suivants :1.x′ = 3xy′ = 5x 3y2.x′ = 2x 3yy′ = 4x 6y3.x′ = 2x 3yy′ = 3x + 2y4.x′ = 4x 3yy′ = x + 2y5.x′ = 2x yy′ = x + 2y6.x′ = 4x + 4yy′ = x y7.x′ = x + y + ty′ = 2x + 4y + et8.x′ = 5x 4y + 1y′ = x + 2y + et9.x′ = 2x + yy′ = x + etz′ = x + y + zExercice 12.Trouver les trajectoires orthogonales des courbes y suivantes :1. y = cx;ouc R2. y = cx2;ouc R3. y′ = 2ty,4. t2y′ = y2,5. yy′ = 1 + t2.6. yy′ = 1 t2.7. y′ = ey tan t.3
