TD4 Equations Differentielles
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Page 1 : Cycle Preparatoire - Premiere AnneeAnalyse II - 2021/2022Equations DifferentiellesExercice 1Donner une equation differentielle dont la fonction f est une solution.1. fx =ex1 + ex.2. fx =c1 + ex;ouc R.3. fx = 1 +ex1 + x2.4. fx =ax1 + x2;oua R.Exercice 2Resoudre les equations differentielles. Preciser le domaine de validite des solutions :1. y′ = 2y,2. yy′ = t.3. y′ = ty,4. y′ = ety.5. t2y′ = y,6.1 + t2y′ = 1 + y2.7. y′ =y1 + t2.8.1 + t2y′ = 1 + y2t39. y′ =y1 t2.10. 10. y′ = ey tan t.Exercice 3Resoudre les equations differentielles :1. x3y′ = xy2 + x2y + 2y3,2. xy′ = y + x cosyx,3. x2y′ = xy 5y2,4. xyy′ = x2 xy + y2.Exercice 4Resoudre les equations differentielles, par la methode de variation de la constante. Preciserle domaine de validite des solutions :1. y′ = 2ty + t
Page 2 : 2. y′ = yt2 1t33. y′ = y tan t + cos t sin t4. y′ = yt2 + exp1t5. y′ = yt2 1 + t26. y′ = 2ty 2t 1et7. y′ = yt 18. y′ cos t + y sin t = cos t + t sin t9. y′ = 2t 1t2 1 y + 110.et 1y′ +et + 1y = 3 + 2etExercice 5Resoudre les problemes de Cauchy suivants :1. xy′ y = x; et y1 = 12. y′ y cos t = 2 cos t sin2 t cos t ; et3. y′ + x2y + x2 = 0;ety0 = 0 y0 = 14. y′ y = cos x + ex sin 2x;ety0 = 05. x 1y′ + y = x;ety2 = 26. tt 1y′ 3t 1y = t2t + 1;et7. 4y′ y = cos x;ety0 = 0 y2 = 08. y′ y = sinh x;ety0 = 19. exy′ + y = 0;ety0 = 1Exercice 6Resoudre les equations differentielles :1. x3y′ = x2y + y2 x22. y′ = y2 1x23. y′ y + xy3 = 04. y′ y + xy4 = 05. xy′ y + x4y3 = 06. xy′ 34y = 9x 3y5Exercice 7Resoudre les problemes de Cauchy suivants :1. y′ + yx y2 + 1x2 = 0;ety1 = 22.1 + x2y′ = y2 1;et y0 = 2
Page 3 : 3. xy′ = y2 3xy 1;ety3 = 94. xy′ = y + xy3;ety1 = 13Exercice 8Resoudre les equations differentielles :1. y′′ 6y′ + 9y = 02. y′′ + 4y′ 16y = 03. y′′ 2y′ + 2y = 04. y′′ y = t3 + t25. y′′ + 4y = 0 ;6. y′′ + 2y′ + y = et7. y′′ 6y′ + 10y = 08. y′′ + 2y′ + y = et + cos t9. y′′ + 5y′ + 6y = 010. y′′ + 2y′ + 4y = t2et11. y′′ 2y′ + 2y = tet cos t12. y′′ + 3y′ + 2y = e2tt + 113. y′′ y = 6 cos t + 2t sin t14. y′′ 3y′ + 2y = et t2 + 115. y′′ 2y′ + y = et sin t16. y′′ + y′ 6y = et2t + 1Exercice 9Resoudre les problemes de Cauchy suivants :1. y′′ y′ 2y = 0;ety0 = 1, y′0 = 52. y′′ + 4y′ + 3y = 0;ety0 = 2, y′0 = 03. y′′ + 4y′ + 4y = 0;ety0 = 1, y′0 = 14. y′′ + 10y′ + 25y = t3;ety0 = 1, y′0 = 1Exercice 10Resoudre les equations differentielles :1. y′′′ y′′ 2y′ = 02. t2y′′ + 3ty′ + y = 03. y′′′′ + 4y′′′ + 3y′′ = 04. t2y′′ + ty′ + y = 0Exercice 11Resoudre les systemes differentiels lineaires suivants :1. x′ = 3xy′ = 5x 3y2. x′ = 4x + 4yy′ = x y
Page 4 : 3. x′ = 2x 3yy′ = 4x 6y4. x′ = x + y + ty′ = 2x + 4y + et5. x′ = 2x 3yy′ = 3x + 2y6. x′ = 5x 4y + 1y′ = x + 2y + et7. x′ = 4x 3yy′ = x + 2y8. x′ = 2x yy′ = x + 2y9.x′ = 2x + yy′ = x + etz′ = x + y + zExercice 12Trouver les trajectoires orthogonales des courbes y suivantes :1. y = cx;ouc R2. yy′ = 1 + t2.3. y = cx2;ouc R4. yy′ = 1 t2.5. y′ = 2ty,6. y′ = ey tan t.7. t2y′ = y2,Exercice 13Determiner les solutions de y′′ + 2iy = 0 valant 1 en 0 et de limite nulle en +.Exercice 14Resoudre l’equation differentielle suivante : y′′ + y = x + 1.Exercice 15Soit x et y des fonctions de la variable t. Resoudre les systeme differentiels suivants :1. x′ = y + t2y′ = x t22. x′ = 7x + y + 1y′ = 2x 5y3. x′ = 2tx y + t costy′ = x + 2ty + t sintOn pourra poser u = x + y et v = x y pour le systeme 1 , trouver une equationdifferentielle du second ordre satisfaite par x pour le systeme 2 , et poser u = x + iy pourle systeme 3 .Exercice 16On considere sur R+ l’equation differentielle d’Euler E : at2y′′ + bty′ + cy = ft, oua, b, c R a ̸= 0 et f une fonction continue de 0, + dans R.
Page 5 : 1. Posons zx = y ex. Montrer que y est solution de E si et seulement si z estsolution d’une equation differentielle du second ordre a coefficients constants en lavariable x.2. Resoudre l’equation d’Euler t2y′′ + ty′ + y = cos2 lnt pour t 0.3. Resoudre l’equation d’Euler t2y′′ 2ty′ + 2y = 2t3 sin2t pour t 0.Solution1. On considere y une solution de E sur R+ Cest done une fonction deux foisderivable, qui satisfait :at2y′′t + bty′t + cyt = ft.Pour tout t R+, il existe un unique x R tel que t = ex. En reportant dansl’equation precedente, on obtient :ae2xy′′ ex + bexy′ ex + cy ex = f exPosons zx = y ex. z est derivable sur R comme composee de fonctions derivables,et pour tout x R, on a :z′x = exy′ ex et z′′x = e2xy′′ ex + exy′ ex .Des lors, y est solution de E sur R+ si et seulement siae2xy′′ ex + bexy′ ex + cy ex = f exsoit encore en reportant :az′′x + b az′x + czx = f ex2. On pose donc zx = y ex. Par ce qu’on a fait precedemment, on est ramene aresoudre l’equationz′′ + z = cos2x.Les solutions de l’equation homogene sont les fonctions de la forme :x 7→A cosx + B sinxavec A, B R. On cherche a present une solution particuliere de l’equation, enutilisant le principe de superposition :E1 : z′′ + z = e2ix2et E2 : z′′ + z = e2ix2Pour E1 , 2i n’est pas solution de l’equation caracteristique. On cherche donc unesolution particuliere sous la forme z1x = ae2ix. En reportant on obtient a = 16,et donc z1x = 16e2ix. Une solution particuliere de E2 s’obtient en prenantle conjugue : z2x = 16e2ix. Finalement une solution particuliere de E est
Page 6 : zx = z1x + z2x = 13 cos2x. Ainsi, les solutions de z′′ + z = cos2x sont lesfonctions de la forme x 7→13 cos2x + A cosx+ B sinx avec A, B R. Et lessolutions de l’equation de depart sont les fonctions de la forme t 7→13 cos2 lnt+A coslnt + B sinlnt avec A, B R.Exercice 17Resoudre l’equation suivante sur - 1, 1 :1 x2y′′ xy′ + y = 0On pourra poser x = sint.Exercice 18Soit E : 1 + xy′′ 2y′ + 1 xy = 1 + x3ex, x R.1. Montrer que x 7→ex est une solution de l’equation homogene associee.2. Soit y une solution de E et z definie par yx = zxex on reconnait la methodede variation de la constante, montrer que y est solution de E si et seulement siz est solution d’une equation differentielle E1 que l’on resoudra.3. Donner les solutions de E.4. En utilisant la methode mise en oeuvre precedement, resoudre sur 0, + l’equationdifferentielle xy′′ + 2x + 1y′ + x + 2y = 0 en notant que x 7→1x est solution dede cette equation.SolutionOn va resoudre l’equation sur I = 1, +, intervalle sur lequel le coefficient en y′′ nes’annule pas il faudrait faire un raccordement pour obtenir les solutions sur R.. .1. Il suffit de le verifier.2. Soit y une solution de E sur I. Alors y est deux fois derivable sur I, et zx =exyx l’est aussi par produit. Pour tout x I, on a :y′x = ex zx + z′x et y′′x = ex zx + 2z′x + z′′xEn reportant dans l’equation, on obtient que y est solution de E si et seulementsi z′ est solution de l’equationE1 : 1 + xu′ + 2xu = 1 + x3.C’est une equation differentielle lineaire d’ordre 1 , qu’on peut normaliser sur I :u′ +2x1 + xu = 1 + x2Une primitive de2x1 + x est 2 lnx+1+2x. Les solutions de l’equation homogenesont donc les fonctions de la forme :x 7→λe2 lnx+12x = λx + 12e2x
Page 7 : avec λ R. On cherche a present une solution particuliere par la methode devariation de la constante, de la forme yx = λxx + 12e2x avec λ une fonctionde classe C1 sur I. On a en reportant :λ′xx + 12e2x = λx + 12soit λ′x = e2x. On prend λx = e2x2 , et yx = x + 122. Ainsi les solutions del’equation E1 sur I sont :x 7→λx + 12e2x + x + 1223. On obtient alors z′x = λx + 12e2x + x + 122dont il faut determiner uneprimitive. On procede par integration par parties :On obtient alors z′x = λx + 12e2x + x + 122dont il faut determiner uneprimitive. On procede par integration par parties :+x + 12e2x↘2x + 1e2x22↘e2x40↘e2x8Les fonctions x 7→x + 12 et x 7→e2x sont de classe C3. On obtient donc :zx = λZx+12e2x+x + 122dx = λx + 122e2xλx + 12e2xλ14e2x+x + 136+µavec λ, µ R. Finalement les solutions de l’equation de depart sur I sont lesfonctions λ, µ R :x 7→λx + 122e2x λx + 12e2x λ14e2x + x + 136+ µex.Exercice 19On considere l’equation differentielley′ exey = aDeterminer ses solutions, en precisant soigneusement leurs intervalles de definition, pour1. a = 02. a = 1 faire le changement de fonction inconnue zx = x + yx
Page 8 : Dans chacun des cas, construire la courbe integrale qui passe par l’origine.Solution1. L’equation differentielle y′ exey = 0 est a variables separees : en effet, en divisantpar ey, on obtient y′ey = ex. Le terme de gauche est la derivee de eyy estune fonction de x , celui de droite est la derivee de x 7→ex :eyx= exxLes derivees etant egales, cela implique que les deux fonctions sont egales a uneconstante additive pres : ainsi y est solution sur I si et seulement si elle est derivablesur I et c R, x I, ey = ex + c. A c fixe, cette egalite n’est possible que siex + c 0, c’est-a-dire si c 0 et x ln c. On obtient ainsi les solutions :ycx = ln c ex pour x Ic = ; ln cou c est un parametre reel strictement positif. Pour que l’une des courbes integralespasse par l’origine, il faut qu’il existe c 0 tel que 0 Ic et yc0 = 0 : autrementdit, c 1 et c 1 = 1. Il s’agit donc de y2 : x 7→ln 2 ex, la courbe integralecherchee est son graphe, au-dessus de l’intervalle I2 = ; ln 2. Sa tangente enl’origine a pour pente y′20 = e0ey0 = 1, c’est la premiere bissectrice. Comme parconstruction y′2 est a valeurs strictement positives, la fonction y2 est strictementcroissante.2. Posons zx = x+yx : z a le mˆeme domaine de definition que y et est derivable siet seulement si y l’est. En rempla¸cant yx par zxx dans l’equation differentielley′exey = 1, on obtient z′ez = 0, c’esta-dire z′ez = 1. Il s’agit de nouveau d’uneequation a variables separees : en integrant cette egalite, on obtient que z est solutionsur J si et seulement si elle est derivable sur J et c R, x J, ez = x + c. Ac fixe, cette egalite n’est possible que si c x. On obtient ainsi les solutions :ycx = zcx x = x lnc x pour x Jc = ; cou c est un parametre reel. Pour que l’une des courbes integrales passe par l’origine,il faut qu’il existe c R tel que 0 Jc et yc0 = 0 : autrement dit, c 0 et c = 1.Il s’agit donc de y1 : x 7→x ln1 x, la courbe integrale cherchee est songraphe, au-dessus de l’intervalle J1 = ; 1. Sa tangente en l’origine a pourpente y′10 = e0ey0 1 = 0 : elle est horizontale.
