TD4 Integration de fonctions mesurables
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Page 1 : CY-Tech - Département Mathématiques1ère année Ingénieurs - Génie MathématiqueMesure & intégrationTD4 – Intégration de fonctions mesurablesUne fonction f de Ωdans R est dite µ-intégrable si f est T ,BR-mesurable etZf +dµ +etZf dµ +.Fonction réelle intégrable – Rappel 1.EXERCICE 1 Soient¡Ω,T ,µ¢et¡R+,BR+,λ¢deux espaces mesurés où µ est une mesure finie sur Ωetλ la mesure de Lebesgue sur R+. On considère l’application mesurablef :¡Ω,T ,µ¢→¡R+,BR+,λ¢.On suppose queZΩf 2dµ +.Soient A1 =©x Ω, 0 f x 1ªet A2 =©x Ω, f x 1ª.1. Montrer que A1 et A2 sont deux ensembles mesurables, A1 T et A2 T .2. Montrer queZA1f dµ +.3. Montrer queZA2f dµ +.4. Que peut-on déduire sur l’intégrabilité de f sur Ω? Justifier.Soient fnnN une suite de fonctions de L Ω,T et g L 1Ω,T ,µ. On suppose que• fnnN converge vers f µ-p.p• Pour tout n N,¯¯fn¯¯ g.Alorsf L 1Ω,T ,µlimn→+Zfndµ =Zf dµThéorème de la convergence dominée – Rappel 2.
Page 2 : Mesure et intégrationEXERCICE 2 Soit¡fn¢nN une suite de fonctions définie, pour tout entier n, parx R, fnx =xn1+ xn+2 1R+ x.1. Déterminer la limite simple de la suite¡fn¢nN.2. Pour tout entier n, on considère l’intégrale In =ZRfnxdx. Calculer la limite limn→+In.EXERCICE 3 Soit¡fn¢nNune suite de fonctions définie, pour n Nparx R, fnx = sin³ xnnx¡1+ x2¢1Rx.1. Montrer que n N, fn est mesurable.2. Calculer limn→+fn.3. Calculer, en justifiant, limn→+ZRfnxdλx.EXERCICE 4 Mesure définie par une densité Soient¡Ω,T ,µ¢un espace mesuré et f une fonction pos-itive et Ω,T -mesurable. On considère la fonction d’ensembles ν définie parA T , νA =ZAf dµ =ZΩ1A f dµ.1. Montrer que ν définit une mesure sur Ω,T . La fonction f s’appelle la densité de ν par rapport à µ.2. Soit g : Ω,T →³R,B Rune fonction mesurable et positive.a Montrer queZΩgdν =ZΩf gdµ.b En déduire que g est ν-intégrable si et seulement si g f est µ-intégrable.3. Soit g : Ω,T →³R,B Rune fonction mesurable de signe quelconque.a g est ν-intégrable si et seulement si g f est µ-intégrable.b Montrer queZΩgdν =ZΩf gdµ.EXERCICE 5Montrer que toute mesure sur R de densité f vérifiantZ +f xdx = 1 est une mesure deprobabilité.EXERCICE 6Soient¡Ω,T ,µ¢un espace mesuré,³Ω′,Aun espace mesurable, et T : Ω,T →³Ω′,Aune application mesurable. On considère la fonction d’ensembles µT définie par :B A , µTB = µ¡T1 B¢= µ◦T1 B.1. Montrer que µT définit une mesure sur³Ω′,A. µT s’appelle mesure image de µ par T.ING1 GM – TD42/3
Page 3 : Mesure et intégration2. Soit g :³Ω′,A→¡R,B R¢une fonction mesurable. Montrer que g est µTintégrable si et seule-ment si l’application mesurable g ◦T est µintégrable et queZΩ′ gdµT =ZΩg ◦Tdµ.Soit p 1,+. On dit que f est est de puissance pième-intégrable, et on note f L p ¡Ω,T ,µ¢, si fest mesurable et f p est µ-intégrable.f L p ¡Ω,T ,µ¢⇐⇒f L Ω,T etZΩ¯¯f¯¯p dµ +.Si f L p ¡Ω,T ,µ¢, Npf =µZΩ¯¯f¯¯p dµ¶ 1p.Espace L p – Rappel 4.EXERCICE 7 Soit f une fonction réelle strictement positive. On suppose que f L 1 ¡Ω,T ,µ¢et 1f L 1 ¡Ω,T ,µ¢. Montrer que Ωest fini.EXERCICE 8 Soit¡Ω,T ,µ¢un espace mesuré. On considère trois réels non nuls et positifs p, q et r telsque1p + 1q = 1r .On suppose que f L p ¡Ω,T ,µ¢et que g L q ¡Ω,T ,µ¢.1. Montrer que Nr¡f g¢Np¡f¢Nq¡g¢.2. Montrer que la fonction f g est rintégrable.Une fonction f de L Ω,T est dite essentiellement bornée s’il existe r 0 tel que f r µ-p.p.On note L ¡Ω,T ,µ¢l’ensemble des fonctions essentiellement bornées de L Ω,T .L ¡Ω,T ,µ¢=©f L Ω,T , r 0 tel que f r µp.p.ªet Nf = inf©r 0 / f r µ-p.pª.Fonction essentiellement bornée – Rappel 5.EXERCICE 91. Soit f L 1 et g L . Montrer que f g est µ-intégrable et queN1f × g N1f ×Ng.2. Supposons que µΩ +et 1 p1 p2 +. Montrer que L L p2 L p1 L 1.ING1 GM – TD43/3
