TD4 Matrices
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Page 1 : Algèbre 2Préing 12024 – 2025TD4 – Calcul matricielExercice 1. Dans chaque cas, dire si les produits AB et B A existent, et les calculer le cas échéant.1. A :=µ121341¶et B :=102101.2. A :=µ1234¶et B :=102101.3. A :=µ12¶et B :=001101.4. A :=101121310et B :=111012120.Exercice 2. On considère les matrices A :=¡1 23 4¢et B :=¡1 11 2¢. Calculer AB, B A, A B2 et A2 2AB +B2.Que remarquez-vous?Exercice 3. On considère S2R l’ensemble des matrices 2×2 symétriques réelles, et A2R l’ensemble desmatrices 2×2 antisymétriques réelles :S2R :=©A M2R¯¯tA = Aª,A2R :=©A M2R¯¯tA = Aª.1. Vérifier que S2R et A2R sont des sous-espaces vectoriels de M2R.2. Déterminer une base de S2R et de A2R, et en déduire leurs dimensions.3. Déterminer S2RA2R, et en déduire que S2R et de A2R sont supplémentaires dans M2R.4. En déduire que toute matrice M M2R s’écrit de manière unique comme la somme d’une matricesymétrique S et d’une matrice antisymétrique A, et déterminer l’expression de S et A en fonction deM et tM.Exercice 4. Soient A et B les matrices :A :=123411122,B :=4259511749.1. Vérifier que B est l’inverse de A.2. En déduire que le système suivant possède une unique solution et la calculer :x 2y +3z = 34x + y + z = 4x +2y 2z = 5.Exercice 5. Soit A :=011101110.1. Calculer A2 et vérifier que A2 = A +2I3.2. En déduire que A est inversible et exprimer A1 en fonction de A.Exercice 6. Vérifier que pour toute matrice A =¡ a bc d¢M2C, on a :A2 a +dA +ad bcI2 = 02.En déduire une condition nécessaire et suffisante sur les nombres a,b,c,d pour que A soit inversible, etdéterminer l’expression de A1 dans ce cas.1
Page 2 : Exercice 7. Soit A :=133421543.1. Soient X =³ xyzM3,1R et Y =³ abcM3,1R. Résoudre le système linéaire AX = Y . En déduire que Aest inversible et déterminer l’inverse de A.2. Recalculer l’inverse de A en utilisant la méthode de Gauss–Jordan.Exercice 8. Calculer l’inverse des matrices suivantes, s’il existe.1. A :=101211111.2. B :=111201211.3. C :=201111101.4. D :=321201221.5. E :=110011110.6. F :=1111111111111111.Exercice 9. Soit A :=1221243433471504. Démontrer que A est inversible et calculer A1.Exercice 10. Soient les matrices A :=210212113et P :=111101110.1. Montrer que P est inversible et calculer P1.2. Calculer D := P1AP et vérifier que D est une matrice diagonale.3. Démontrer par récurrence que n N, Dn = P1AnP.4. Calculer Dn pour tout n N, et en déduire l’expression de An pour tout n N.Exercice 11. Soit A :=310032003.1. Écrire A = 3I3 + N avec N une matrice triangulaire supérieure stricte à déterminer.2. Calculer N 2, N 3 et N p pour tout p 3.3. En déduire Ap pour tout p N.4. Application : soient xnnN, ynnN et znnN trois suites telles que x0 = 1, y0 = 2, z0 = 7 et :n N,xn+1 = 3xn + ynyn+1 = 3yn +2znzn+1 = 3zn.On pose Xn :=³ xnynzn.a. Vérifier que Xn+1 = AXn pour tout n N.b. Démontrer par récurrence que n N, Xn = AnX0.c. En déduire l’expression de xn, yn et zn en fonction de n.2
