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Page 1 : CPI.II T.D. MATHEMATIQUES1E.I.S.T.I. - Département Mathématiques2e Année Classe PréparatoireT.D. MATHEMATIQUES CPI. IIT.D. n◦4Suites et Séries de Fonctionsle 20 novembre 2019Ex.1Etudier la convergence simple et la convergence uniforme des suites d'appli-cations suivantes :afn : R →R,fnx =nx1 + n2x2bfn : R+ →R,fnx = xn 1xn + 1cfn : 0, 1 →R,fnx = 1 xn1 + x2ndfn : 0, 1 →R,fnx =n 1x, si x 0, 1n1 x, si x 1n, 1efn : R+ →R,fnx = sinpx + 4π2n2 x4nπ ;ffn : R →R,fnx = exnXk=0xkk! ;gfn : R →R,fnx =nx2enx1 ex2si x ̸= 00six = 0Ex.2Etudier la convergence simple et la convergence uniforme des suites de fonc-tions suivantes :1fn : π2 ,π2 →R,x7→11 + sinx + sin2x + · · · + sin2nx
Page 2 : CPI.II T.D. MATHEMATIQUES22fn : R+ →R,x7→nαxenxoù αest un nombre réel donné.3fn : 0,π2 →R,x7→sinn xEx.3Soient : fn : R →RnN une suite d'applications, et f : R →R, uneapplication.On suppose que fnnN, converge uniformément vers f sur R.a Soit, φ : R →R, une application.Montrer que fn ◦φnN converge uniformément vers f ◦φ sur R.b Soit g : R →R une application uniformément continue.Montrer que : g ◦fnnN converge uniformément vers g ◦f sur R.c Montrer que la suite des fonctions : fn1 + f 2nnN,converge uniformément versf1 + f 2 .Ex.4On note pour n N,fn : R →R,x7→x + xnna Etudier la convergence simple et uniforme de fnnNb Montrer que lorsque n →+:Z 10fnxdx 2n+1n2Ex.5Calculer :limn→+Z 10nexn + xdxetlimn→+Z 10x51 + x2n dx
