TD4
Page 1 : Ondes - TD 4Exercice IOn considere l’agencement de masses de valeur M et de ressorts de constante de rappelk illustre ci-dessous:aaaax1123ˆux1Chacune des masses peut glisser verticalement le long d’une tige rigide, et elles sontseparees les unes des autres d’une distance a beaucoup plus grande que la longueur aurepos des ressorts, L0. On numerote en ordre les masses de 1 a 3, de gauche a droite, et onnote xn la hauteur de la masse numero n par rapport a sa position d’equilibre on negligeles effets de la gravite. On suppose de plus que chaque masse subit une force de frottementMγ ˙xnˆux.1. Montrer que les equations du mouvement de ce systeme peuvent ˆetre mises sous laformeM ¨⃗Xt + Γ ˙⃗Xt + K ⃗Xt = 0,2avec ⃗Xt = x1t, x2t, x3t et M, Γ, et K, des matrices a determiner.2. Trouver ⃗V1, ⃗V2, ⃗V3 trois vecteurs propres lineairement independants de la matriceK.3. Pour chaque vecteur propre ⃗Vi, poser l’ansatz⃗Xt = fitVi,3et montrer que c’est une solution de 2 si fit est une solution de l’equation d’unoscillateur amorti:m ¨fit + γi ˙fit + w2i fit = 0,4ou m, γi, wi sont des constantes a determiner.4. Supposons que l’on graisse la tige du milieu mais pas les autres, de sortes que la massenumero 2 ne subit plus aucun frottement. Est-ce que l’ansatz 3 fonctionne toujoursdans ce cas? Pourquoi?Exercice IIOn considere un systeme dont les equations du mouvement sont de la forme¨⃗Xt + W ⃗Xt = ⃗Ft,51
Page 2 : ou le vecteur position est ⃗Xt = x1t, x2t, et⃗Ft = F0 cosωdtsinωdt,W = ω2110ω22.6On suppose que ω21 ̸= ω22.1. Trouver les modes propres de ce systeme.2. Trouver la solution generale de l’equation 5.3. Etant donnees les conditions initiales suivantes:⃗X0 = 00,˙⃗X0 = 00,7trouver la solution particuliere de l’equation 5 correspondante.On suppose maintenant que ω1 = ω2 ω et que F0 = 0.4. Trouver les vecteurs propres de la matrice W; combien est-ce qu’il y en a?5. Pour trouver les modes propres manquant, on pose l’ansatz:⃗Xt = t2ftdftdt.8Inserer cet ansatz dans l’equation 5 pour obtenir une equation pour ft. Utiliserla solution de cette equation pour donner la solution generale des equations du mou-vement.6. Montrer que pour toute matrice M telle que M 2 = W, et tout vecteur constant ⃗Y ,⃗X±t = exp ±iMt ⃗Y ,exp ±iMt Xn=01n!±iMtn,9sont des solutions de l’equation 5. Indice: prenez pour acquis que la somme infiniedans la definition de l’exponentielle matricielle converge uniformement i.e. on peutfaire entrer les derivees a l’interieur de la somme!.7. Montrer que pour tout entier n 1, et tout nombre reel a, b ̸= 0, ab0an= annan1b0an,10et donc queexp ab0a= ea 1b01.118. Trouver une matrice M telle que M 2 = W, et utiliser le resultat precedent pourdonner la solution generale des equations du mouvement; est-ce que c’est bien lasolution trouver precedemment?2
