TD4
Page 1 : 2023/2024Semestre 1 – PréIng 2TD4 - Séries EntièresExercice 1Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes :1.Xn1znn2.Xn0nnn! zn3.Xn01 + 1nnzn4.Xn02n3n + nz4n5.Xn0chnazn, a RExercice 2On considère la fonction f : R →R définie parfx =ex + e1x2six ̸= 01six = 01. Montrer que f est de classe Csur R.2. Calculer f n0 puis déterminer la série entière P anxn engendrée par f.3. La fonction f est-elle développable en série entière à l’origine?Exercice 3Calculer le développement en série entière au voisinage de 0 des fonctions suivantes en précisant le domainede validité du développement.1. f : x 7→ln1 + x 2x22. f : x 7→arcsinx3. f : x 7→x4x4 + x2 2Exercice 4Déterminer les fonctions solutions de l’équation différentielle suivante qui sont développables en série entièreen 0 :x21 xy′′ x1 + xy′ + y = 0Exercices SupplémentairesExercice 5Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes :1.Xn1znn22.Xn11nnnzn3.Xn0sinnθzn, θ R4.Xn0n 1nn + 1! znExercice 6Calculer le développement en série entière au voisinage de 0 des fonctions suivantes en précisant le domainede validité du développement.1. f : x 7→lnx2 2x + 12. f : x 7→chxex1
Page 2 : Exercice 7On considère la fonction f définie sur 1, + parfx = 1 xα,α R.1. Déterminer une équation différentielle donc f est solution.2. Déterminer toutes les solutions développables en série entière en 0 de cette équation différentielle.3. La fonction f est-elle développable en série entière en 0 ? Si oui, quel est son développement ?2
