TD5 Complexes Correction
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Page 1 : Algebre-Premier semestre 2024 - 2025CY TechTD AlgebreNombres complexes.Algebre
Page 2 : Exercice 5.1Mettre sous forme alg´ebrique les nombres suivants :13+6i34i .21+i2i2+3+6i34i .32+5i1i+25i1+i .Algebre
Page 3 : Exercice 5.1Solution : On commence par noter que, puisque pour toutz = x + iy C×,nous avons1z =1x + iy=1x + iy · x iyx iy=x iyx2 + y 2 =zz2 .Pour ´ecrire sous forme alg´ebrique un nombre complexe de la forme a+ibx+iyon procede toujours de la fa¸con suivante :a + ibx + iy=a + ibx + iy · x iyx iy=a + ibx iyx2 + y 2=ax + by + ibx ayx2 + y 2.Algebre
Page 4 : Exercice 5.11 Nous avons :3 + 6i3 4i=3 + 6i3 4i · 3 + 4i3 + 4i=3 + 6i · 3 + 4i9 + 16=15 + 30i25= 3 + i65.2 Nous avons :1 + i2 i2+ 3 + 6i3 4i=1 + 2i + i24 4i + i2 + 3 + 6i3 4i=2i3 4i + 3 + 6i3 4i=3 + 8i3 4iAlgebre
Page 5 : Exercice 5.1Ainsi1 + i2 i2+ 3 + 6i3 4i=3 + 8i3 4i=3 + 8i3 4i · 3 + 4i3 + 4i = 3 + 8i3 + 4i25=23 + 36i25.3 Nous avons :2 + 5i1 i+ 2 5i1 + i=2 + 5i1 i+ 2 + 5i1 i=2 + 5i1 i+2 + 5i1 i=2Re2 + 5i1 i.Algebre
Page 6 : Exercice 5.1Or2 + 5i1 i=2 + 5i1 i · 1 + i1 + i=2 + 5i · 1 + i2=3 + 7i2.Par cons´equent2 + 5i1 i+ 2 5i1 + i=2Re2 + 5i1 i=2 · 32= 3.Algebre
Page 7 : Exercice 5.2On suppose θ π; π. Calculer le module et un argument des nombrescomplexes suivants.1 z = ieiθ.2 z = 1 + eiθ.3 z = sinθ + i1 + cosθ.Algebre
Page 8 : Exercice 5.21 z = ieiθ.Solution : Notons quei=0 + i=cosπ/2 + i sinπ/2=eiπ2 .Ce qui nous permet d’´ecrireieiθ=ei π2 · eiθ=ei π2 +θ.Doncz = 1etargz = π2 + θ.Algebre
Page 9 : Exercice 5.22 z = 1 + eiθ.Solution : Notons que1 = ei0.Alorsz = 1 + eiθ = ei0 + eiθ.A chaque fois que on a une expression de la formeeix + eiy,on pense a utiliser la formule de l’angle moitie :eix + eiy = 2 cosx y2eix+y2.Doncz = ei0 + eiθ = 2 cosθ2eiθ2 .Algebre
Page 10 : Exercice 5.2Pour finir, on rappelle queθ π, π=⇒θ2 iπ2 , π2iet comme cosinus est positif surπ2 , π2, on conclutz = 2 cosθ2etargz = θ2.Algebre
Page 11 : Exercice 5.23 z = sinθ + i1 + cosθ.Solution : On commence par noter quez=sinθ + i1 + cosθ=i + sinθ + i cosθ=i +cosπ2 θ+ i sinπ2 θ=ei π2+ ei π2 θ=ei π2 1 + eiθ=ei π2 ei0 + eiθ.En utilisant la formule de l’angle moitie, on obtientz = ei π2 · 2 cos0 θ2ei0+θ2=ei π2 · 2 cosθ2eiθ2=2 cosθ2eiπθ2.Algebre
Page 12 : Exercice 5.2Pour finir, on rappelle queθ π, π=⇒θ2 iπ2 , π2iet comme cosinus est positif surπ2 , π2, on conclutz = 2 cosθ2etargz = π θ2.Algebre
Page 13 : Exercice 5.3Calculer le module et l’argument principal des nombres complexessuivants1 z = i1 + i33 i2 z = 333i1+iAlgebre
Page 14 : Exercice 5.31 z = i1 + i33 i.Solution : Nous avonsz=i1 + i33 i=i 33 i=i3 1 3 + i3=4=4 · 1.Finalement, puisque1=1 + i0=cosπ + i sinπ = eiπ,on conclut que4 = 4eiπ.Doncz = 4etargz = π π, π.Algebre
Page 15 : Exercice 5.32 z = 333i1+i.Solution : On commence par noter que3 + i=2 32 + i2!=2cosπ6+ i sinπ6=2ei π6Ainsi33 3i=33 + i=6ei π6 .Algebre
Page 16 : Exercice 5.3De mˆeme1 + i=2 22 + i22!=2cosπ4+ i sinπ4=2ei π4 .Par cons´equent33 3i1 + i= 6ei π62ei π4=62·ei π6 i π4 =62·ei π12 =62·eiπ · ei π12 =62· ei 11π12 .Algebre
Page 17 : Exercice 5.3Doncz =62etargz = 11π12 π, π.Algebre
Page 18 : Exercice 5.4Simplifier les nombres complexes 3 i2!1995et 1 + i31 i!20.Solution : Nous avons3 i2=32 i 12=cosπ6i sinπ6=cosπ6+ i sinπ6=cosπ6+ i sinπ6=ei π6Algebre
Page 19 : Exercice 5.4Ainsi 3 i2!1995=ei π6 1995=ei 1995π6=ei 665π2=ei166·2πi π2=ei π2=i.Algebre
Page 20 : Exercice 5.4Pour simplifier1+i31i20on commence par noter que1 + i3=212 + i32=2cosπ3+ i sinπ3=2ei π3De mˆeme1 i=222 i22=2cosπ4i sinπ4=2cosπ4+ i sinπ4=2cosπ4+ i sinπ4.=2ei π4Algebre
Page 21 : Exercice 5.4Donc 1 + i31 i!20=2ei π32ei π420= 2220·ei π3 +i π4 20= 2220·ei 7π1220=220 · ei 20·7π12=210 · ei 35π3=210 · ei 361π3=210 · ei12πi π3=210 · ei12π · ei π3=210 · ei6·2π · ei π3=210 · ei π3Algebre
Page 22 : Exercice 5.5Montrer quez = 1 ⇐⇒z = 1zSolution : Nous avonsz = 1⇐⇒z · z = 1⇐⇒zz = 1⇐⇒z = 1z .Algebre
Page 23 : Exercice 5.6SoitP = z C : Imz 0etD = z C : z 1.Montrer quef : z 7→z iz + iest une bijection de P sur D.Solution :Montrons f injective : Soit z P et z′ P tel quef z = f z′⇐⇒z iz + i = z′ iz′ + i⇐⇒z iz′ + i = z′ iz + i⇐⇒z · z′ + iz iz′ + 1 = z′ · z + iz′ iz + 1⇐⇒2iz = 2iz′⇐⇒z = z′.Ainsi, f est injective.Algebre
Page 24 : Exercice 5.6Montrons f surjective : Soit z C tel que z 1 i.e z D.Cherchons w P tel que f w = z. Nous avonsf w = z⇐⇒w iw + i = z⇐⇒w i = wz + iz⇐⇒w wz = i + iz⇐⇒w1 z = i + iz⇐⇒w = i + iz1 z = i 1 + z1 z .C’est-a-dire, l’unique ant´ec´edent de z D est donn´e parw = i · 1 + z1 z .Pour montrer que f est surjective, il ne nous reste donc que av´erifier que w P. C’est-a-dire v´erifierz D, Imw = Imi · 1 + z1 z 0.Algebre
Page 25 : Exercice 5.6Or pour tout z D, nous avonsi · 1 + z1 z=i · 1 + z1 z1 z2=i · 1 + z z z21 z2=i · 1 z2 + 2iImz1 z2=2Imz1 z2 + i 1 z21 z2 .Finalement, puisque z D, c’est-a-dire z 1, on conclut 1 z2 0et doncImi · 1 + z1 z= 1 z21 z2 0=⇒w = i · 1 + z1 z P.La fonction f est donc surjective.Algebre
Page 26 : Exercice 5.7Pour tout z C \ 2i posonsZ = z + iz 2i .1 D´eterminer l’ensemble E1 des nombres z tels que Z soit r´eel.2 D´eterminer l’ensemble E2 des nombres z tels que Z soit imaginairepur.3 D´eterminer l’ensemble E3 des nombres z tels que Z ait pourargument π2 .Algebre
Page 27 : Exercice 5.71 D´eterminer l’ensemble E1 des nombres z tels que Z =z+iz2i soit r´eel.Solution : Nous avonsz E1 ⇐⇒Z R⇐⇒Z = Z⇐⇒z + iz 2i = z + iz 2i= z + iz 2i= z iz + 2i⇐⇒z + iz + 2i = z iz 2i⇐⇒z2 + 2iz + iz 2 = z2 2iz iz 2⇐⇒2iz + iz = 2iz iz⇐⇒3iz = 3iz⇐⇒z = z⇐⇒z iR \ 2i.AinsiE1 = z C \ 2i : z iR.Algebre
Page 28 : Exercice 5.72 D´eterminer l’ensemble E2 des nombres z tels que Z =z+iz2i soit unimaginaire pur.Solution : Nous avonsz = x + iy E2⇐⇒Z iR⇐⇒Z = Z⇐⇒z + iz 2i = z + iz 2i= z + iz 2i= z iz + 2i⇐⇒z + iz + 2i = z iz 2i⇐⇒z2 2iz iz + 2 = z2 2iz iz 2⇐⇒0 = 2z2 + iz z 4⇐⇒0 = 2z2 + i2iImz 4⇐⇒0 = 2z2 2Imz 4 ⇐⇒0 = z2 Imz 2⇐⇒0 = x2 + y 2 y 2 = x2 +y 2 y + 1414 2⇐⇒x2 +y 122= 94.Algebre
Page 29 : Exercice 5.7AinsiE2 =z = x + iy C \ 2i : x2 +y 122= 94.L’ensemble E2 peut donc ˆetre identifi´e, avec le cercle de centre 0, 12 etde rayon 32, priv´e du point 2i.Algebre
Page 30 : Exercice 5.73 D´eterminer l’ensemble E3 des nombres z tels que Z ait pourargument π2 .Solution : On commence par noter que :argZ = π2⇐⇒Z iR et ImZ 0.Par cons´equentz E3⇐⇒z E2etImZ 0.MaintenantZ = z + iz 2i = z + iz + 2iz 2i2= z2 2 Imz + 3iRezz 2i2DoncImZ = 3Rezz 2i2 0⇐⇒Rez 0.Algebre
Page 31 : Exercice 5.7Ainsiz E3⇐⇒z E2etRez 0.L’ensemble corresponds donc au cercle pr´ec´edent restreint aux pointsd’abscisses strictement positives.Algebre
Page 32 : Exercice 5.8Soit z, z′ U2 tel que z · z′ ̸= 1. D´emontrer par deux m´ethodes queZ =z + z′1 + z · z′ R.Premiere M´ethode : Soit z, z′ U2, alorsZ =z + z′1 + z · z′ R⇐⇒Z = Z⇐⇒Z Z = 0.Montrons pour toute couple z, z′ U2 avec z · z′ ̸= 1, l’equationZ Z = 0.Algebre
Page 33 : Exercice 5.8Nous avonsZ Z=z + z′1 + z · z′ z + z′1 + z · z′=z + z′1 + z · z′ z + z′1 + z · z′=z + z′1 + z · z′ z + z′1 + z · z′=z + z′1 + z · z′ z + z′1 + z · z′1 + z · z′1 + z · z′=z + zz · z′ + z′ + z′z · z′ z z′ zzz′ z′zz′1 + z · z′1 + z · z′=z + z′z2 + z′ + zz′2 z z′ z′z2 zz′21 + z · z′1 + z · z′z = z′ = 1=z + z′ + z′ + z z z′ z′ z1 + z · z′1 + z · z′= 0.Algebre
Page 34 : Exercice 5.8Soit z; z′ U2 tel que zz′ ̸= 1. D´emontrer par deux m´ethodes queZ = z + z′1 + zz′ R.Deuxieme M´ethode : On utilise l’´ecriture exponentielle de z et z′θ R, z = eiθetθ′ R, z′ = eiθ′.Ce qui nous permet d’´ecrireZ =z + z′1 + z · z′ = eiθ + eiθ′1 + eiθeiθ′ =eiθ + eiθ′1 + eiθ+θ′ =eiθ + eiθ′ei0 + eiθ+θ′ .En utilisant la formule de l’angle moitie, on obtienteiθ + eiθ′=2 cosθ θ′2ei θ+θ′2ei0 + eiθ+θ′=2 cosθ + θ′2ei θ+θ′2 .Algebre
Page 35 : Exercice 5.8D’ou on conclutZ =2 cosθθ′2ei θ+θ′22 cos θ+θ′2ei θ+θ′2=2 cosθθ′22 cos θ+θ′2 R.Algebre
Page 36 : Exercice 5.9Soit a, b C2, avec a ̸= b. D´emontrer par deux m´ethodes que :a Uoub U=⇒a b1 ab U.Premiere M´ethode : On utilise les propri´et´es de la conjugaison et du module.Supposons a U. Alors nous avonsa = 1a=⇒1 ab = 1 ba = a ba=⇒a b1 ab = a baba= a U.Supposons b U. Alors nous avonsa b1 ab = a b1 ab =a b1 ab = a b1 ab.Maintenant, puisque b U, nous avons b = 1b . Ce qui nous permetd’´ecrirea b1 ab = a b1 ab= b ·a bb a = b · 1 = 1 · 1 = 1.Ainsia b1 ab U.Algebre
Page 37 : Exercice 5.9Soit a, b C2, avec a ̸= b. D´emontrer par deux m´ethodes que :a Uoub U=⇒a b1 ab U.Deuxieme M´ethode : On utilise l’´ecriture exponentielle de a et b.Supposons a U. Alors il existe θ R tel que a = eiθ. Ce qui nouspermet d’´ecrirea b1 ab =eiθ b1 eiθb = eiθ eθ beiθ b = eiθ U.Supposons b U. Alors il existe θ R tel que b = eiθ. Ce qui nouspermet d’´ecrirea b1 ab = a b1 ab =a b1 ab=a b1 ab=a eiθ1 aeiθ =eiθ · a eiθeiθ a = 1.Ainsia b1 ab U.Algebre
Page 38 : Exercice 5.10Soit θ π; π. D´eterminer le module et un argument de :Z = cosθ + i sinθ 1cosθ + i sinθ + 1Solution : Nous avonsZ = cosθ + i sinθ 1cosθ + i sinθ + 1 = eiθ 1eiθ + 1 = eiθ ei0eiθ + ei0En utilisant la formule de l’angle moiti´e, on obtienteiθ ei0=2i sinθ2ei θ2eiθ + ei0=2 cosθ2ei θ2 .D’ou on conclutZ = 2i sin θ2ei θ22 cos θ2ei θ2= i sin θ2cos θ2 = i tanθ2.Algebre
Page 39 : Exercice 5.10Par cons´equent :si θ π, 0, alors θ2 π2 , 0et tan θ2 0. DoncZ = tanθ2i = tanθ2eiπ2AinsiZ = tanθ2etargZ = π2mod 2π.si θ = 0, alors tanθ/2 = 0. Donc Z = 0.si θ 0, π, alors θ2 0, π2et tan θ2 0. DoncZ = tanθ2i = tanθ2eiπ2AinsiZ = tanθ2etargZ = π2mod 2π.Algebre
Page 40 : Exercice 5.10Soit z U dont un argument est dans 0, π3 . D´eterminer le module et unargument deZ = 1 + z3z2.Solution : Par hypothese, il existe θ 0, π3 tel que z = eiθ. Nous avonsZ = 1 + z3z2= 1z2 + z = z2 + z = e2iθ + eiθEn utilisant la formule de l’angle moitie, on obtiente2iθ + eiθ=2 cos3θ2ei θ2Orθ i0, π3h=⇒3θ2 i0, π2h=⇒cos3θ2 0.AinsiZ = 2 cos3θ2etargZ = θ2mod 2π.Algebre
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