TD5 Complexes
Télécharger le TD5 Complexes en pdf
Page 1 : Cycle pré-ingénieur - Première AnnèeAlgèbre 1 - 2023/2024Nombres ComplexesExercice 1. Mettre sous forme algébrique les nombres suivants :a 3 + 6i3 4i.b1 + i2 i2+ 3 + 6i3 4i.c 2 + 5i1 i+ 2 5i1 + i .Exercice 2. On suppose θ π; π. Calculer le module et un argument des nombres complexes suivants.a z = ieiθ.b z = 1 + eiθ.c z = sinθ + i1 + cosθ.Exercice 3. Calculer le module et l’argument principal des nombres complexes suivants :a z = i1 + i33 ib z = 33 3i1 + iExercice 4. Simplifier les nombres complexes 3 i2!1995et 1 + i31 i!20.Exercice 5. Montrer quez = 1 ⇐⇒z = 1zExercice 6. Pour tout z C \ 2i posonsZ = z + iz 2i.a Déterminer l’ensemble E1 des nombres z tels que Z soit réel.b Déterminer l’ensemble E2 des nombres z tels que Z soit imaginaire pur.c Déterminer l’ensemble E3 des nombres z tels que Z ait pour argument π2 .Exercice 7. Soit z U dont un argument est dansi0, π3h. Déterminer le module et un argument deZ = 1 + z3z2.A faire chez soiExercice 8. Soit P = z C : Imz 0etD = z C : z 1.Montrer que f : z 7→z iz + i est une bijection de P sur D.Exercice 9. Soit z, z′ U2 tel que z · z′ ̸= 1. Démontrer par deux méthodes queZ =z + z′1 + z · z′ R.Exercice 10. Soit a, b C2, avec a ̸= b. Démontrer par deux méthodes que :a Uoub U=⇒a b1 ab U.Exercice 11. Exprimer en fonction de sinθ et de cosθ :a sin4θb sin5θA faire chez soi1
Page 2 : c cos2θd sin2θe cos3θExercice 12. Linéariser :a sin4θb sin2θ cos3θA faire chez soic cos2θd sin2θe cos3θExercice 13. Soit θ R.a Exprimer sin5θ en fonction de sinθ.b En déduire la valeur exacte de sinθ5.Exercice 14. Résoudre d’une manière générale l’équation ez = Z d’inconnue z, le nombre complexe Z ̸= 0étant fixé en donnant la forme algébrique des éventuelles solutions.Exercice 15. Déterminer les racines carrées complexes des nombres suivants :1. 13.2. 3 4i.3. 5 12i4. 21 20i.A faire chez soi5. 7 + 24i.6. 3 + 4i.7. 1 + i3.Exercice 16. Résoudre dans C les équations suivantes :a z2 22 + iz + 6 + 8i = 0b z4 5 14iz2 25i + 12 = 0A faire chez soic z2 + z + 1 = 0d iz2 + 4i 3z + i 5 = 0Exercice 17.1. Calculer les racines cubiques de 1 + i4et montrer que l’une d’elles a une puissance qua-trième réelle.2. Calculer les racines 5es de 1.3. Calculer les racines 8es de1 + i3 i.4. Résoudre l’équation z7 = 1z2 .Exercice 18.1. Résoudre dans C l’équation z5 1 = 0 et représenter les solutions.2. On pose u = e2iπ5 .a Montrer que 1 + u + u2 + u3 + u4 = 0.b Vérifier que u + u4 = 2 cos2π5et u2 + u3 = 2 cos4π5.2
Page 3 : 3. En déduire que cos2π5est solution de l’équation 4x2 + 2x 1 = 0 puis calculercos2π5et cos4π5.A faire chez soiExercice 19. On note α = ei2π5 . On pose A = α + α4 et B = α2 + α3.a Justifier que A et B sont les solutions de l’équationE : x2 + x 1 = 0.b Déterminer A en fonction de cos2π5.c En déduire la valeur exacte de cos2π5.3
