TD5 Correction
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Page 1 : CY TechPreIngI Analyse2 S22023/2024Correction Fiche TD51Equivalence RappelsDefinitionOn dit que f et g sont deux fonctions equivalentes au voisinage de a ssilimx→afxgx = 1,et on note f a g.Equivalences usuellessin x 0 x,ln1 + x 0 x,ex 1 0 x,cos x 1 0 12x2,1 + xα 1 0 αx,tan x 0 x.ProprietesSi f a g et h a k alorsf · h a g · k,etfh agkAttentionSi f a g et h a kf + h a g + k n’est pas vrai en general !D’autres proprietes utileslimx→a f g = 0 ⇐⇒ef a egexo 7etf a g et limx→a f R\1 =⇒ln f a ln g exo 8Exercice 101 sin x ln1 + x2x tan x0x.x2x.x car sin x 0 x,ln1 + x2 0 x2,tan x 0 x,limx→0sin x ln1 + x2x tan x= limx→0 x = 0.1
Page 2 : 2 ln1 + sin xtan6x0x6x car ln1 + sin x 0 sin x 0 x,tan6x 0 6x,limx→0ln1 + sin xtan6x= limx→0x6x = 16.3 lne + x1x = e1x lnlne+x,1x ln lne + x = 1x lnlne1 + xe = 1x lnlne + ln1 + xe ,comme lne = 1, alors1x lnlne + ln1 + xe = 1x ln1 + ln1 + xe 01xxe ,carln1 + ln1 + xe 0 ln1 + xe 0xe .Donc1x ln lne + x 01e.D’apres l’exo 7 :e1x lnlne+x 0 e1e ,finalement, on obtientlimx→0 lne + x1x = e1e .4ln1 + ex 1x = e1x lnln1+ex,On sait queln1 + ex +ex,d’apres l’exo 08 :lnln1 + ex +lnex = x.Dans ce cas, on obtient1x lnln1 + ex+1x.x = 1.D’apres l’exo 7, on ae1x lnln1+ex +e1.Donclimx→+ln1 + ex 1x = e1.Exercice 111 limx→1x3 2x2 + 2x 1x3 x2 + x 1= limx→1 1 +x x2x3 x2 + x 1 = limx→1 1 +x1 x1 xx2 1 = 1 12 = 12.2x sin x1 cos x 0x.x12x2= x212x2= 2.Nous avons utilisecos x 1 0 12x2 =⇒1 cos x 012x2Donclimx→0x sin x1 cos x = 2.2
Page 3 : 3x + 1 3px3 + 1 = x + 1"1 3x3 + 1x + 1= x + 1"1 3sx3 + 1x + 13.On remarque quex3 + 1x + 13 = x + 1x2 x + 1x + 1x + 12= x2 x + 1x2 + 2x + 1 = x2 + 2x + 1 3xx2 + 2x + 1= 1 3xx2 + 2x + 1x + 1"1 3sx3 + 1x + 13= x + 1"1 3r1 3xx2 + 2x + 1.Comme3xx2 + 2x + 1 →x→+0en utilisant l’equivalence 1 1 + uα 0 αu avec α = 13 et u = 3xx2+2x+1, on obtient"1 3r1 3xx2 + 2x + 1+13.3xx2 + 2x + 1.Finalementx + 1"1 3sx3 + 1x + 13+x + 113.3xx2 + 2x + 1=xx + 1x2 + 2x + 1 +x2x2 = 1.limx→+x + 1 3px3 + 1 = 1.41 cos x sin xx3012x2.xx3Car1 cos x 012x2,sin x 0 x.Donc1 cos x sin xx3012x2.xx3012D’apres l’exo 7e1cos x sin xx30 e12Donclimx→0 e1cos x sin xx3= e12 .5 lncos x1 cos2x = lncosx 1 + 11 cos2x012x22x2carlncosx 1 + 1 0 cosx 1 0 12x2et1 cos2x 0122x2 = 2x2Donclimx→0lncos x1 cos2x = 146lnx + 1ln xx ln x= ex ln x ln lnx+1ln x3
Page 4 : x ln x lnlnx + 1ln x= x ln x ln lnx1 + 1xln x!= x ln x ln ln x + ln1 + 1xln x!= x ln x ln 1 + ln1 + 1xln x!Commeln1 + 1xln x→x→+0 alors ln 1 + ln1 + 1xln x!+ln1 + 1xln xDoncx ln x ln 1 + ln1 + 1xln x!= x ln xln1 + 1xln x= x ln1 + 1x = ln1 + 1x1x+1.Il s’en suit d’apres l’exo 7 :ex ln x ln lnx+1ln x+e1.On deduit la limitelimx→+lnx + 1ln xx ln x= e.7ln 2xπcos x= ln 2xπ 1 + 1cosx π2 + π2Comme cosθ + π2 = sin θ, alorsln 2xπ 1 + 1cosx π2 + π2 = ln 2xπ 1 + 1sinx π2 On a2xπ 1 →x→π/2 0 alors ln2xπ 1 + 1π/22xπ 1,et en plus commex π/2 →x→π/2 0 =⇒sinx π2 π/2 x π2 .Doncln 2xπ 1 + 1sinx π2 π/22xπ 1π2 x =2πx π2π2 x= 2π.On deduitlimx→π/2ln 2xπcos x= 2π.8 x2 e1x+1 e1x= x2e1xe1x+1 1x 1= x2e1xe1xx+1 1Comme1xx + 1 →x→+0 alors e1xx+1 1 +1xx + 1.Doncx2e1xe1xx+1 1+x2e1x1xx + 1+x2e1x1x2= e1xFinalement,limx→+x2 e1x+1 e1x=limx→+e1x = 1.4
Page 5 : Exercice 1213px3 + x2 3px3 x23px3 + x2 1 3rx3 x2x3 + x2!=3px3 + x2 1 3r1 2x2x3 + x2!On a3px3 + x2 +3x3 = xDe plus2x2x3 + x2 →x→+0 =⇒1 3r1 2x2x3 + x2 +13 2x2x3 + x2= 23x2x3 + x23px3 + x2 3px3 x2 +x · 23x2x3 + x2= 23x3x3 + x2En particulierlimx→+3px3 + x2 3px3 x2 = 232qx2 +px4 + 1 x2 =sx2 + x2r1 + 1x4 x2 = xs1 +r1 + 1x4 2= xvuut2 +"r1 + 1x4 12= x2vuut1 + 12"r1 + 1x4 11On a12"r1 + 1x4 1→x→+0=⇒vuut1 + 12"r1 + 1x4 11+12 12"r1 + 1x4 1!+1412 · 1x4=18x4 .Doncqx2 +px4 + 1 x2 +x ·28x4 =142x3 .En particulierlimx→+qx2 +px4 + 1 x2 =limx→+142x3 = 0.3 tanax sinaxtanbx sinbx =sinax1cosax 1sinbx1cosbx 1 =sinax1cosaxcosaxsinbx1cosbxcosbxOn utilise le fait quesinax 0 ax,sinbx 0 bx,cosax 0 1,cosbx 0 1et1 cosax 012ax2,1 cosbx 012bx2.Donc, on obtientsinax1cosaxcosaxsinbx1cosbxcosbx 0ax 12ax2bx 12bx2 = ax3bx3 = a3b3 .5
Page 6 : 4 x π4 tanx + π4 = x π4 tanx π4 + π2 = x π4 sinx π4 + π2 cosx π4 + π2 Or sinθ + π2 = cosθ et cosθ + π2 = sin θ, on obtientx π4 sinx π4 + π2 cosx π4 + π2 = x π4 cosx π4 sinx π4 .Commesinx π4 π/4 x π4 ,cosx π4 π/4 1On obtientx π4 cosx π4 sinx π4 π/4x π4x π4= 1.En particulierlimx→π/4x π4 tanx + π4 = 1.5cos x sin x4x π tan x = cosx π/4 + π/4 sinx π/4 + π/44x π tan x.On utilise les formules trigonometriques :cosa + b = cos a cos b sin a sin b,sina + b = sin a cos b + cos a sin b.Donccosx π/4 + π/4 sinx π/4 + π/4 = cosx π/4 cosπ/4 sinx π/4 sinπ/4sinx π/4 cosπ/4 + cosx π/4 sinπ/4 .Comme sinπ/4 = cosπ/4 =2/2, on deduitcosx π/4 + π/4 sinx π/4 + π/4 = 2 · sinx π/4 π/4 2 · x π/4Comme tan x π/4 1, alorscosx π/4 + π/4 sinx π/4 + π/44x π tan xπ/42 · x π/44x π= 2 · x π/44x π/4= 24.En particulierlimx→π/4cos x sin x4x π tan x = 24.6 tanx x cos xsin x + cos x 1x x cos x →0 0 =⇒tanx x cos x 0 x x cos x = x 1 cos x 0 x · x22 = x32 .D’un autre cˆotelimx→0sin x + cos x 1x= limx→0sin xx+ cos x 1x= limx→0sin xx+ limx→0cos x 1x= 1 + 0 = 1.Doncsin x + cos x 1 0 xFinalement,tanx x cos xsin x + cos x 1 0x32 · x = x226
Page 7 : En particulierlimx→0tanx x cos xsin x + cos x 1 = limx→0x22 = 0.7 x11+2 ln x = e11+2 ln x ln xln x1 + 2 ln x =11ln x + 2 0+ 12.Donc d’apres l’exo 7e11+2 ln x ln x 0+ e12 .8 2x2 3x + 1 tanπx = 2x 1x 1 tanπx = 2x 1x 1 tanπx 12 + π2 = 2x 1x 1 sinπx 12 + π2 cosπx 12 + π2 Or sinθ + π2 = cosθ et cosθ + π2 = sin θ, on obtient2x 1x 1 tanπx 12 + π2 = 2x 1x 1cosπx 12sinπx 12 .Puisquecosπx 12 1/2 1,sinπx 12 1/2 πx 12.On obtient finalement2x 1x 1cosπx 12sinπx 12 1/22x 1x 1πx 12= 2x 12x 1x 12= 2πx 1En particulierlimx→1/22x2 3x + 1 tanπx = limx→1/22πx 1 = 1π.91 + x2sin 1x lnx1 + x=1 + x2sin 1x ln1 11 + xOn remarque quep1 + x2 +x,sin1x+1x,ln1 11 + x+11 + x.On obtient alors,1 + x2sin 1x lnx1 + x+x1x 11 + x= x21 + x +xEn particulierlimx→+1 + x2sin 1x lnx1 + x=limx→+x = .7
Page 8 : 2Developpement limite RappelsDefinitionf admet un DL d’ordre n au voisinage de 0 sauf peut ˆetre en 0 ssi il existe a0, ..., an etune fonction ϵx tels quefx = a0 + a1 · x + a2 · x2 + ... + an · xn + xnϵx,limx→0 ϵx = 0.— La partie polynˆomiale : a0 + a1 · x + a2 · x2 + ... + an · xn est dite partie reguliere.— La partie xnϵx est dite partie complementaire ou reste d’ordre n.Exemple : fx = x2 sin 1xadmet un DL d’ordre 1 au voisinage de 0. En effet, on ecritfx = 0 + 0 · x + x ·x sin1x,ϵx = x sin1x→x→0 0.Dans cet exemple, on note bien que f admet un DL alors qu’elle n’est mˆeme pas definieen 0.ProprieteSi f est de Cn au voisinage de 0 alors f admet un DL d’ordre n et ce n’est d’autre queson developpement de Taylorfx = f0 + f′01! x + f′′02!x2 + ... + fn0n!xn + xnϵx,limx→0 ϵx = 0On obtient ainsi le DL au voisinage de 0 des fonctions usuelles suivantesDL usuelles au voisinage de 0ex = 1 + x + x22! + x33! + · · · + xnn! + xnϵx,limx→0 ϵx = 0sin x = x x33! + x55! + · · · +1n2n + 1!x2n+1 + x2n+1ϵx,limx→0 ϵx = 0cos x = 1 x22! + x44! + · · · + 1n2n! x2n + x2nϵx,limx→0 ϵx = 0ln1 + x = x x22 + x33 + · · · + 1n+1 xnn + xnϵx,limx→0 ϵx = 01+xα = 1+αx+αα 12!x2+αα 1α 23!x3+· · ·+αα 1 · · · α n + 1n!xn+xnϵx,limx→0 ϵx = 011 x = 1 + x + x2 + · · · + xn + xnϵx,limx→0 ϵx = 011 + x = 1 x + x2 + · · · + 1nxn + xnϵx,limx→0 ϵx = 0tan x = x + x33 + 215x5 + x5ϵx,limx→0 ϵx = 08
Page 9 : ProprietesSoit f une fonction definie en 0.f admet un DL d’ordre1 ⇐⇒f est derivable en 0Exemple : fx = x. f n’admet pas un DL d’ordre 1 car f n’est pas derivable en 0.ProporieteSoit f une fonction definie en 0f est derivable n n 1 fois =⇒f admet un DL d’ordre nAttentionL’implicationf admet un DL d’ordre n n 1 =⇒f est derivable n n 1 fois est fausse !Exemple fx = x3 sin 1xx ̸= 00x = 0admet un DL d’ordre 2. En effetfx = 0 + 0 · x + 0 · x2 + x2x sin1x, ϵx = x sin1x→x→0 0.et pourtant elle n’est pas derivable deux fois. Sa derivee premiere n’est pas continue.DL au voisinage de aLes DL usuelles sont au voisinage de 0 mais dans un exercice ils peuvent nous demanderde donner le DL au voisinage d’un point a quelconque. Pour cela, on fait le changementde variabley = x a,x →a =⇒y →0DL generalise au voisinage de +ou On fait le changement de variabley = 1x,x →=⇒y →0Ceci est pratique pour chercher les equations d’asymptˆotes a une courbe.Exercice 17f2x = x 1 ln x,DL31On ecrit le DL de f2 au voisinage de 1. Afin d’utiliser les formules usuelles on se ramene auvoisinage de 0 avec le changement de variabley = x 1,x →1 =⇒y →0On ecritx 1 ln x = py + 1 1 lny + 1.9
Page 10 : On utilise les formules usuelles suivantes qui sont valides au voisinage de 0 a l’ordre 3 :py + 1 = y + 11/2 = 1 + y2 18y2 + 116y3 + y3ϵy,limy→0 ϵy = 0.Ici on a utilise la formule1 + yα = 1 + αy + αα 12!y2 + αα 1α 23!y3 + y3ϵy,limy→0 ϵy = 0.avec α = 1/2. D’autre part, on alny + 1 = y y22 + y33 + y3ϵyDoncpy + 1 1 lny + 1 =1 + y2 18y2 + 116y3 + y3ϵy y y22 + y33 + y3ϵyOn multiplie les deux parties regulieres les deux polynˆomes en negligeant les termes d’ordrestrictement superieur a 3 car ils seront automatiquement incorpores dans la partie complemen-taire le reste. On obtient alorspy + 1 1 lny + 1 = y y22 + y33 + y22 y34 y38 + y3ϵy.Enfin,py + 1 1 lny + 1 = y y324 + y3ϵy.On n’a pas encore fini ! il faut revenir a la variable x. On rappelle que y = x 1 doncf2x = x 1 x 1324+ x 13ϵx,limx→1 ϵx = 0.Exercice 183 f3x =q1 +p1 + x2,DL40On rappelle la formule :py + 1 = 1 + y2 18y2 + 116y3 5128y4 + y4ϵy,limy→0 ϵy = 0.On pose y = x2 et on va jusqu’a l’ordre 4 :px2 + 1 = 1 + x22 x48 + x4ϵx,limx→0 ϵx = 0Doncf3x =q1 +p1 + x2 =s1 +1 + x22 x48 + x4ϵx=s2 +x22 x48+ x4ϵx=2 ·s1 + 12x22 x48+ x4ϵxOn note u = 12x22 x48qui tend bien vers 0 quand x tend vers 0.On rappelle la formule :u + 1 = 1 + u2 18u2 + 116u3 5128u4 + u4ϵu,limu→0 ϵu = 0.10
Page 11 : On remplace u = 12x22 x48et on garde les termes d’ordre inferieur ou egal a 4. On a alorss1 + 12x22 x48+ x4ϵx = 1 +12x22 x4821812x22 x482+ x4ϵx= 1 + x28 x432 x4128 + x4ϵx = 1 + x28 5x4128 + x4ϵx.Doncf3x =2 ·1 + x28 5x4128+ x4ϵx.4 f4x = cosx2 sin x,DL60.On rappelle le DL du cos au voisinage de 0cos u = 1 u22! + u44! u66! + u6ϵuOn pose u = x2 et on va jusqu’a l’ordre 6cos x2 = 1 x42 + x6ϵx.D’un autre cˆote, on asin x = x x33! + x55! + x6ϵx.Attention : dans le DL du sinus le coefficient associe a x6 est nul ! mais le reste est d’ordre 6 !En effet, le sinus est une fonction impaire naturellement son DL ne garde que les puissancesimpaires, donc on asin x = x x33! + x55! x77! + x7ϵx = x x33! + x55! + x6 x7! + xϵx= x x33! + x55! + x6ˆϵx,limx→0 ˆϵx = 0Vous voyez bien ici qu’on peut toujours se debrouiller pour avoir un reste d’ordre 6, A retenir.Revenons a notre exemplef4x =1 x42 + x6ϵx x x33! + x55! + x6ϵx= x x36 59120x5 + x6ϵxExercice 191 f1x = esin x,DL30On rappelle quesin x = x x33! + x3ϵx,limx→0 ϵx = 0.f1x = exx33! +x3ϵxOn rappelle queeu = 1 + u + u22! + u33! + u3ϵuOn pose u = x x33! qui tend vers 0 quand x tend vers 0. On obtientexx33! +x3εx = 1 +x x33!+x x33!22!+x x33!33!+ x3ϵx11
Page 12 : = 1 + x x36 + x22 + x36 + x3ϵx = 1 + x + x22 + x3ϵx.Je rappelle qu’on garde uniquement les termes d’ordre inferieur ou egale a 3 et les termes quidepasse l’ordre 3 seront automatiquement integres dans le reste.2 f2x = sintan x,DL30On rappelle quetan x = x + x33 + x3ϵx.Doncf2x = sinx + x33 + x3ϵxOn rappelle quesin u = u u33! + u3ϵu.On pose u = x + x33 et on obtientsinx + x33 + x3ϵx = x + x33 x + x3333!+ x3ϵx.= x + x33 x36 + x3ϵx = x + x36 + x3ϵx.3 f3x = ln1 + x2 ,DL30On rappelle queln1 + x = x x22 + x33 + x3ϵx,limx→0 ϵx = 0.f3x =x x22 + x33 + x3ϵx2On met au carre la partie reguliere i.e le polynˆome et on garde que les termes d’ordre inferieurou egal a 3.f3x = x2 x32 x32 + x3ϵx = x2 x3 + x3ϵx.4 f4x = ecos x,DL40On rappelle quecos x = 1 x22! + x44! + x4ϵxecos x = e1x22! + x44! +x4ϵx = e · ex22! + x44! +x4ϵx.On rappelle queeu = 1 + u + u22! + u33! + u44! + u4ϵuOn pose u = x22! + x44! qui tend vers 0 quand x tend vers 0 on obtientex22! + x44! +x4ϵx = 1 +x22! + x44!+ 12!x22! + x44!2+ x4εx.On a neglige deja les termes u3 et u4 car cela va depasser l’ordre 4. On a alorsex22! + x44! +x4ϵx = 1 x22! + x424 + x48 + x4εx = 1 x22 + x46 + x4εx.5 f5x = sin x6,DL9012
Page 13 : On asin x = x x36 + x55! x77! + x99! + x9ϵxsin x6 =x x36 + x55! x77! + x99! + x9ϵx6= x6 ·1 x26 + x45! x67! + x89! + x8ϵx6On va jusqu’a l’ordre 9 donc on constate qu’il faut developper1 x26 + x45! x67! + x89! + x8ϵx6jusqu’a l’ordre 3. Deja on remarque que1 x26 + x45! x67! + x89! + x8ϵx = 1 x26 + x3ϵxIl ne reste plus qu’a mettre 1x26 a la puissance 6 en negligeant les termes qui depassent l’ordre3. Le binˆome de Newton donne1 x26 + x3ϵx6= 1 + 6.x26+ x3ϵx = 1 x2 + x3ϵx.Finalement,sin x6 = x6 1 x2 + x3ϵx= x6 x8 + x9ϵx.Exercice 201 f1x = cosln x,DL21Ici, on demande a faire n DL au voisinage de 1, comme les formulles usuelles sont au voisinagede 0, il convient de faire le changement de variabley = x 1,x →1 =⇒y →0.cosln x = cosln1 + y = cosy y22 + y2ϵy.On rappelle quecos u = 1 u22! + u2ϵuOn pose u = y y22 , on obtientcosy y22 + y2ϵy= 1 y y2222!+ y2ϵy = 1 y22 + y2ϵyOn revient a la variable xcosln x = 1 x 122+ x 12ϵx,limx→1 ϵx = 02 f2x = lntan x,DL3π4 Comme d’habitude, on fait un changement de variable pour se ramener a zero.y = x π4 ,x →π4 =⇒y →0.lntan x = lntany + π4 .On utilise la formuletana + b = tan a + tan b1 tan a tan b13
Page 14 : avec a = y et b = π/4. Sachant que tan π4 = 1, on obtientlntany + π4 = lntan y + 11 tan y= lntan y + 1 ln1 tan yOn rappelle quetan y = y + y33 + y3ϵy,limy→0 ϵy = 0.Donclntan y + 1 = ln1 + y + y33 + y3ϵyOn rappelle aussi queln1 + u = u u22 + u33 + u3ϵuDonc on pose u = y + y33 qui tend bien vers 0 et on obtientlntan y + 1 =y + y33y + y3322+y + y3333+ y3ϵy.On garde que les termes d’ordre inferieur ou egale a 3 et on neglige les autres= y + y33 y22 + y33 + y3εy = y y22 + 2y33+ y3ϵy....D’un autre cˆote, comme la fonction tangente est impaire, on constate queln1 tan y = ln1 + tanyDonc on deduit le resultat directement en rempla¸cant y par y dans ln1 tan y = y y22 2y33+ y3ϵyFinalement,lntan y + 1 ln1 tan y = 2y + 4y33+ y3ϵyOn conclut quef2x = 2x π4 + 4x π433+x π43ϵx,limx→π/4 ϵx = 03 f3x =x 1ln x,DL21On pose y = x 1x 1ln x=y + 1 1lny + 1Ici, on demande de developper a l’ordre 2, on va d’abord faire le DL a l’ordre 3 de la racine etdu log, on va savoir pourquoi plus loin. On rappelle quepy + 1 = y + 11/2 = 1 + y2 18y2 + y316 + y3ϵy,limy→0 ϵy = 0.etlny + 1 = y y22 + y33 + y3ϵy,limy→0 ϵy = 0.y + 1 1lny + 1=y2 18y2 + y316 + y3ϵyy y22 + y33 + y3ϵy14
Page 15 : On remarque qu’on peut factoriser par y en haut et en bas, on obtienty + 1 1lny + 1=12 18y + y216 + y2ϵy1 y2 + y23 + y2ϵyOn s’est ramene alors a un rapport de deux DL d’ordre 2, en plus le denominateur ne s’annulepas en 0. On peut faire la division selon les puissances croissantes, on obtienty + 1 1lny + 1=12 18y + y216 + y2ϵy1 y2 + y23 + y2ϵy= 12 + 18y 124y2 + y2ϵy.ou bien on ecrit12 18y + y216 + y2ϵy1 y2 + y23 + y2ϵy=12 18y + y216 + y2ϵy·11 y2 + y23 + y2ϵyOn rappelle que11 + u = 1 u + u2 + u2ϵuOn pose u = y2 + y23 , on obtient11 y2 + y23 + y2ϵy= 1 y2 + y23+y2 + y232+ y2ϵy= 1 + y2 y23 + y24 + y2ϵy = 1 + y2 y212 + y2ϵyDonc12 18y + y216 + y2ϵy1 y2 + y23 + y2ϵy=12 18y + y216 + y2ϵy·11 y2 + y23 + y2ϵy=12 18y + y216 + y2ϵy 1 + y2 y212 + y2ϵy= 12 + 18y 124y2 + y2ϵy.Exercice 213 limx→ex eln x 1On pose y = x e, comme x →e, y →0, on ax eln x 1 =y + e elny + e 1 =eq1 + ye elne1 + ye 1 =eq1 + ye elne + ln1 + ye 1Comme lne = 1=eq1 + ye eln1 + yePour trouver la limite, il reste maintenant a choisir l’ordre auquel il faut developper les fonctionsde maniere a enlever la forme indeterminee. Ici, on va jusqu’a l’ordre 1. En effeteq1 + ye eln1 + ye=eq1 + yeeln1 + yeOn rappelle que1 + u = 1 + u2 + uϵu.15
Page 16 : etln1 + u = u + uϵuOn pose u = yer1 + ye = 1 + y2e + yϵy,ln1 + ye = ye + yϵy.Donceq1 + yeeln1 + ye=e1 + y2e + yϵyeye + yϵy=ey2e + yϵyye + yϵy=e2e + ϵy1e + ϵy →y→0e2e1e=e2Donclimx→ex eln x 1 =e24 limx→01 + 3x1/3 1 sin x1 cos xIci on developpe jusqu’a l’ordre 2, on rappelle que1 + uα = 1 + αu + αα 12u2 + u2ϵuOn pose u = 3x avec α = 1/31 + 3x1/3 = 1 + 133x +1313 123x2 + x2ϵx = 1 + x x2 + x2ϵxDe plus,sin x = x + x2ϵx,cos x = 1 x22! + x2ϵx.1 + 3x1/3 1 sin x1 cos x= 1 + x x2 1 x + x2ϵx1 1 + x22 + x2ϵx= x2 + x2ϵxx22 + x2ϵx= 1 + ϵx12 + ϵx →x→0 2.Donclimx→01 + 3x1/3 1 sin x1 cos x= 2.5 limx→01x ln1 + xx21x ln1 + xx2= 1x1 ln1 + xxOn va jusqu’a l’ordre 1, donc je developpe ln1 + x jusqu’a l’ordre 2.ln1 + x = x x22 + x2ϵx,limx→0 ϵx = 0.1x1 ln1 + xx= 1x 1 x x22 + x2ϵxx!= 1x1 1 x2 + xϵx= 1xx2 + xϵx= 12 + ϵx →x→012.Enfin,limx→01x ln1 + xx2= 12.16
Page 17 : Exercice 22gx = x + 2x 2 + 2xLe but de cet exercice est de trouver la tangente a la courbe de g au point 1. Le developpementlimite de g en 1 a l’ordre 1 donne l’equation de la tangente a la courbe au point 1, mais afin dededuire la position relative entre la tangente et la courbe, il faut pousser le DL plus loin. Eneffet, il faut regarder le premier terme non nul qui suit l’equation de la tangente dans le DL.Dans cet exemple, l’ordre 2 suffit.gx = x + 2x 2 + 2x,DL21On se ramene au voisinage de zero avec le changement de variable Soit y = x 1x + 2x 2 + 2x = y + 1 + 2py + 1 p2 + 2y + 1 = y + 1 + 2py + 1 p2y + 4= y + 1 + 2py + 1 2ry2 + 1On rappelle que1 + u = 1 + u2 u28 + u2ϵu.Doncy + 1 + 2py + 1 2ry2 + 1 = y + 1 + 21 + y2 y2821 + 12y218y22+ y2ϵy.= 1 + 32y y28 + y2ϵy = 1 + 32x 1 18x 12 + x 12ϵx,limx→1 ϵx = 0.Finalementfx = 1 + 32x 1 18x 12 + x 12ϵx,limx→1 ϵx = 0.La partie affine du DL est l’equation de la tangente Tx = 1 + 32x 1. Le terme qui suitl’equation de la tangente est 18x 12 qui est negatif sur un voisinage de 1. Donc on deduitque la courbe de g est en dessous de T. En effetfx Tx = 18x 12 + x 12ϵx = x 1218 + ϵx,limx→1 ϵx = 0.Comme ϵ tend vers zero en 1, le terme18 + ϵx 0 sur un voisinage de 1 car ϵ est aussi petitqu’on veut et c’est le signe de 1/8 qui va dominer. Et comme x 12 0 sur tout voisinagede 1 doncx 1218 + ϵx0.Exercice 23On rappelle que11 + u = 1 u + u2 + u2ϵuOn pose u = t211 + t2 = 1 t2 + t4 + t4ϵtOn integre entre 0 et xZ x011 + t2 dt =Z x01 t2 + t4dt + x5ϵx17
Page 18 : On trouvearctan x arctan 0 = x x33 + x55 + x5ϵxComme arctan 0 = 0 doncarctan x = x x33 + x55 + x5ϵxMontrer quearctanx + arctan1x= π2 ,x 0?On derive sur 0, +arctanx′ +arctan1x′=11 + x2 1x2 ·11x2 + 1 =11 + x2 11 + x2 = 0.Donc, il existe une constante telle quearctanx + arctan1x= c,x 0.Pour determiner c, on pose x = 1arctan1 + arctan1 = π4 + π4 = π23 fx = arctan x,DL3+On pose y = 1x, donc x = 1y. On voit quex →+=⇒y →0.De la question 2arctan x = arctan1y= π2 arctan yPuis de la question 1 comme y tend vers 0, on a= π2 y + y33 + y3ϵyMaintenant on revient a xarctan x = π2 1x +13x3 + 1x3 ϵx,limx→+ϵx = 0.L’equation de l’asymptote de f au voisinage de +est d’equation Ax = π2 . La position relativeest determine par le signe de 1x qui est negatif au voisinage de +. Donc le graphe de f esten dessous de l’asymptote.Exercice 241fx =px3x + 1On pose y = 1x pour se ramener a zerofx =r 1y3 1y + 1 =ry + 1y4= 1y2py + 1 = 1y2 1 + y2 y28 + y2ϵy= 1y2 + 12y 18 + ϵy = x2 + x2 18 + ϵx,limx→+ϵx = 0.Doncf +x218
Page 19 : f n’a pas d’asymptˆote au voisinage de l’infini.2 fx =pxx + 1On pose y = 1/xfx =r1y1y + 1 =ry + 1y2= 1yp1 + y = 1y1 + y2 y28 + y2ϵy= 1y + 12 y8 + yϵy= x + 12 18x + 1xϵx,limx→+ϵx = 0.L’equation de l’asymptˆote est Ax = x + 12 et la position relative est determinee par le signe de18x qui est negatif au voisinage de +. Donc le graphe est en dessous de l’asymptˆote.3 fx =rx3x 1on pose y = 1/xfx =s1y3 1y 1 = 1y1 y1/2 = 1y1 + y2 + 12 · 12 · 32 y2 + y2ϵy= 1y1 + y2 + 38y2 + y2ϵy = 1y + 12 + 38y + yϵyDoncfx = x + 12 + 38x + 1xϵx,limx→+ϵx = 0.L’equation de l’asymptˆote est Ax = x + 12 et la position relative est determinee par le signe de+ 38x qui est positif au voisinage de +. Donc le graphe est au dessus de l’asymptˆote.4 fx = x2 1 lnx + 1x 1On pose y = 1xfx = 1y2 1 lny + 11 y= 1y2 1 y2 lny + 1 ln1 yOn rappelle queln1 + u = u u22 + u33 + u3ϵuDonc1y2 1 y2 lny + 1 ln1 y= 1y2 1 y2y y22 + y33 y y22+ y33+ y3ϵy= 1 y2y22y + 23y3 + y3ϵy= 1y22y 43y3 + y3ϵy= 2y 43y + yϵyDoncfx = 2x 43x + 1xϵx,limx→+ϵx = 0.L’equation de l’asymptˆote est Ax = 2x et la position relative est determinee par le signe de43x qui est negatif au voisinage de +. Donc le graphe est en dessous de l’asymptˆote.A vous de jouer !19
